Calcular pelo o menos uma raiz real das equações, abaixo com epsilon <= 10^-3, usando o método de Newton. Para tanto defina um intervalo de convergência para a raiz.
f(x)=x^3-x^2-12 x=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar pelo menos uma raiz real de

usando o método de Newton até um erro .
Isso é conteúdo de Cálculo Numérico, método iterativo: a gente vai precisar de
  1. derivar ,
  2. montar a fórmula de Newton
    ,
  3. escolher um chute inicial num intervalo onde o método converge.

Passo 2

Antes de partir pras contas, define um intervalo de convergência.
  1. tem raiz em , e fica positivo para .
  2. é positivo para .
  3. Para garantir o “empurrãozinho” (condição ), basta escolher , pois aí , e .
    Logo, o método converge em todo .
    Vamos pegar .

Passo 3

Anota aí as fórmulas:
xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn)

Newton:

Passo 4

Agora as iterações (parando quando ):
  • n=0:
    ,

    .
  • n=1:
    ,

    .
  • n=2:
    ,

    .
    Diferença , continua…
  • n=3:
    ,

    .
    Agora , parámos.

Resposta

Uma raiz aproximada é
xapprox3,9994(ou simp<=smente 4,000pm10^-3)

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