Questão 3: Use o Método da Eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares:
llx+y+t & =0 x+2 y+z+t & =1 3 x+3 y+z+2 t & =-1 y+3 z-t & =3

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares usando o Método da Eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
x + y + t = 0 x + 2y + z + t = 1 3x + 3y + z + 2t = -1 y + 3z - t = 3
Para resolver, vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada e usar operações de linha para simplificar até encontrar os valores de x, y, z e t.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 1 & 0 & 1 & | & 0 1 & 2 & 1 & 1 & | & 1 3 & 3 & 1 & 2 & | & -1 0 & 1 & 3 & -1 & | & 3
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e as colunas correspondem aos coeficientes das variáveis x, y, z, t e o termo constante.

Passo 3

Vamos usar a primeira linha para eliminar o x das outras linhas. Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
Nova segunda linha: $ Linha2 - Linha1 $
Linha2 - Linha1
Nova terceira linha: $ Linha3 - 3 \times Linha1 $
1 - 1 = 0 | 2 - 1 = 1 | 1 - 0 = 1 | 1 - 1 = 0 | 1 - 0 = 1
A matriz fica:
Linha3 - 3 times Linha1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o y da quarta linha usando a segunda linha. Subtraímos a segunda linha da quarta:
Nova quarta linha: $ Linha4 - Linha2 $
Linha4 - Linha2
A matriz atualizada:
0 - 0 = 0 | 1 - 1 = 0 | 3 - 1 = 2 | -1 - 0 = -1 | 3 - 1 = 2

Passo 5

Vamos eliminar o z da quarta linha usando a terceira linha. Subtraímos 2 vezes a terceira linha da quarta:
Nova quarta linha: $ Linha4 - 2 \times Linha3 $
Linha4 - 2 times Linha3
Agora, a matriz fica:
0 - 2 times 0 = 0 | 0 - 2 times 0 = 0 | 2 - 2 times 1 = 0 | -1 - 2 times (-1) = 1 | 2 - 2 times (-1) = 4

Passo 6

Agora que temos a matriz em forma triangular, podemos resolver as equações de baixo para cima (back substitution).
Começamos com a quarta linha:
t = 4
Substituímos t na terceira linha:
z - t = -1 Rightarrow z - 4 = -1 Rightarrow z = 3
Substituímos z e t na segunda linha:
y + z = 1 Rightarrow y + 3 = 1 Rightarrow y = -2
Finalmente, substituímos y e t na primeira linha:
x + y + t = 0 Rightarrow x - 2 + 4 = 0 Rightarrow x = -2

Resposta

A solução do sistema é:
x = -2, y = -2, z = 3, t = 4

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