Observação: a resposta final pedida é o polinômio de grau 1, o polinômio de grau 2 e qual tem menor resíduo; os cálculos começam no passo seguinte.
Passo 2
Método e somas necessárias — explicação didática curta:
Para ajustar por mínimos quadrados um polinômio de grau m usamos as equações normais: são equações lineares nas incógnitas (coeficientes do polinômio) obtidas impondo que a soma dos resíduos ponderados por potências de x seja zero. Para grau 1 (coeficientes a_0,a_1) precisamos dos somatórios n,\sum x,\sum x^2,\sum y,\sum xy. Para grau 2 (coeficientes b_0,b_1,b_2) precisamos também de \sum x^3,\sum x^4,\sum x^2y.
Vou calcular todos os somatórios necessários a partir da tabela (cada valor foi calculado a partir dos pontos da tabela).
Cálculo dos somatórios (valores numéricos obtidos somando os termos das colunas):
Breve comentário sobre cada somatório: por exemplo \sum x= soma de todos os x da tabela, \sum xy= soma dos produtos x_i y_i, etc. Esses números vão entrar nas equações normais.
Passo 3
Ajuste linear (grau 1) — desenvolvimento passo a passo:
A reta procurada tem forma \displaystyle p_1(x)=a_0+a_1 x\).
- As equações normais (dois equações) são
\[\begin{cases} n a_0 + (\sum x)\,a_1 = \sum y,\\[4pt] (\sum x)\,a_0 + (\sum x^2)\,a_1 = \sum xy. \end{cases}
Cálculo dos resíduos para o ajuste linear (explicação do que é residual e como somar):
Resíduo em cada ponto: r_i = y_i - p_1(x_i).
Soma dos quadrados dos resíduos (resíduo total) é S_1=\sum_{i=1}^n r_i^2. Esse número mede o erro total do ajuste; quanto menor, melhor o ajuste em termos de quadrados.
Vou calcular p_1(x_i), r_i e r_i^2 para cada ponto (valores numéricos aproximados, cada cálculo feito com as mesmas coeficientes acima):
Para x=0: p_1(0)=0{,}9295147, r=1{,}0-0{,}9295147=0{,}0704853, r^2\approx 0{,}00496819.
Para x=0{,}15: p_1=1{,}0087298, r=-0{,}0047298, r^2\approx 0{,}00002237.
Para x=0{,}31: p_1=1{,}0932258, r=-0{,}0622258, r^2\approx 0{,}0038722.
Para x=0{,}5: p_1=1{,}1935649, r=-0{,}0765649, r^2\approx 0{,}0058622.
Para x=0{,}6: p_1=1{,}2463749, r=-0{,}0233749, r^2\approx 0{,}0005466.
Para x=0{,}75: p_1=1{,}32559, r=0{,}09641, r^2\approx 0{,}0092953.
Resolvi esse sistema por eliminação (mostro o núcleo do procedimento numérico):
Eliminei b_0\] das equações 2 e 3 usando a equação 1. Isso levou ao sistema reduzido de duas equações em \[b_1,b_2:\begin{cases} 0{,}40175\,b_1 + 0{,}2989675\,b_2 = 0{,}212165,\\[4pt] 0{,}2989675\,b_1 + 0{,}2404245083\,b_2 = 0{,}1784741. \end{cases}
Dessa pequena 2\times2\] resolvi por eliminação/Cramer, obtendo (cálculos mostrados passo a passo nos números):
\[b_2 \approx 1{,}147545,\qquad b_1 \approx -0{,}325727.\]
- Voltando na primeira equação para \(b_0:6 b_0 + 2{,}31(-0{,}325727) + 1{,}2911(1{,}147545) = 6{,}797que dáb_0 \approx 1{,}0113056.