Encontre os polinômios de grau 1 e 2 que melhor ajustam a tabela abaixo, no sentido dos quadrados mínimos. Qual deles fornece o menor resíduo?
\begin{tabular}{c|cccccc}
x & 0 & 0.15 & 0.31 & 0.5 & 0.6 & 0.75 \
\hline f(x) & 1.0 & 1.004 & 1.031 & 1.117 & 1.223 & 1.422

Passo 1

O que o problema pede:
  • Encontrar o polinômio de grau 1 (reta) que melhor ajusta os pontos da tabela pelo método dos quadrados mínimos.
  • Encontrar o polinômio de grau 2 (parábola) que melhor ajusta esses pontos pelo mesmo critério.
  • Dizer qual dos dois ajustamentos fornece o menor resíduo (soma dos quadrados dos resíduos).
Dados fornecidos (peguei os x e f(x) diretamente da tabela):
\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 0{,}15 & 0{,}31 & 0{,}5 & 0{,}6 & 0{,}75\\hline f(x) & 1{,}0 & 1{,}004 & 1{,}031 & 1{,}117 & 1{,}223 & 1{,}422 \end{array}
Observação: a resposta final pedida é o polinômio de grau 1, o polinômio de grau 2 e qual tem menor resíduo; os cálculos começam no passo seguinte.

Passo 2

Método e somas necessárias — explicação didática curta:
  • Para ajustar por mínimos quadrados um polinômio de grau m usamos as equações normais: são equações lineares nas incógnitas (coeficientes do polinômio) obtidas impondo que a soma dos resíduos ponderados por potências de x seja zero. Para grau 1 (coeficientes a_0,a_1) precisamos dos somatórios n,\sum x,\sum x^2,\sum y,\sum xy. Para grau 2 (coeficientes b_0,b_1,b_2) precisamos também de \sum x^3,\sum x^4,\sum x^2y.
  • Vou calcular todos os somatórios necessários a partir da tabela (cada valor foi calculado a partir dos pontos da tabela).
Cálculo dos somatórios (valores numéricos obtidos somando os termos das colunas):
\begin{aligned} n &= 6,\\\ \sum x &= 2{,}31,\\\ \sum x^2 &= 1{,}2911,\\\ \sum x^3 &= 0{,}796041,\\\ \sum x^4 &= 0{,}51824771,\\\ \sum y &= 6{,}797,\\\ \sum xy &= 2{,}82901,\\\ \sum x^2y &= 1{,}6410741. \end{aligned}
Breve comentário sobre cada somatório: por exemplo \sum x= soma de todos os x da tabela, \sum xy= soma dos produtos x_i y_i, etc. Esses números vão entrar nas equações normais.

Passo 3

Ajuste linear (grau 1) — desenvolvimento passo a passo:
  • A reta procurada tem forma \displaystyle p_1(x)=a_0+a_1 x\). - As equações normais (dois equações) são \[\begin{cases} n a_0 + (\sum x)\,a_1 = \sum y,\\[4pt] (\sum x)\,a_0 + (\sum x^2)\,a_1 = \sum xy. \end{cases}
  • Substituindo os somatórios:
\begin{cases} 6a_0 + 2{,}31\,a_1 = 6{,}797,\\[4pt] 2{,}31\,a_0 + 1{,}2911\,a_1 = 2{,}82901. \end{cases}
  • Resolvendo: da primeira equação isolamos (a_0]:
    a_0 = \frac{6{,}797 - 2{,}31\,a_1}{6} = 1{,}13283333 - 0{,}385\,a_1.
  • Substituindo na segunda:
2{,}31(1{,}13283333 - 0{,}385 a_1) + 1{,}2911\,a_1 = 2{,}82901.
Calculei passo a passo:
2{,}616845 - 0{,}88935 a_1 + 1{,}2911 a_1 = 2{,}82901
0{,}40175 a_1 = 0{,}212165 \quad\Rightarrow\quad a_1 \approx 0{,}5281003.
  • Voltando a a_0:
a_0 = 1{,}13283333 - 0{,}385\cdot 0{,}5281003 \approx 0{,}9295147.
  • Portanto o ajuste linear obtido é
\boxed{p_1(x)=0{,}9295147 + 0{,}5281003\,x.}]

Passo 4

Cálculo dos resíduos para o ajuste linear (explicação do que é residual e como somar):
  • Resíduo em cada ponto: r_i = y_i - p_1(x_i).
  • Soma dos quadrados dos resíduos (resíduo total) é S_1=\sum_{i=1}^n r_i^2. Esse número mede o erro total do ajuste; quanto menor, melhor o ajuste em termos de quadrados.
Vou calcular p_1(x_i), r_i e r_i^2 para cada ponto (valores numéricos aproximados, cada cálculo feito com as mesmas coeficientes acima):
Para x=0: p_1(0)=0{,}9295147, r=1{,}0-0{,}9295147=0{,}0704853, r^2\approx 0{,}00496819.
Para x=0{,}15: p_1=1{,}0087298, r=-0{,}0047298, r^2\approx 0{,}00002237.
Para x=0{,}31: p_1=1{,}0932258, r=-0{,}0622258, r^2\approx 0{,}0038722.
Para x=0{,}5: p_1=1{,}1935649, r=-0{,}0765649, r^2\approx 0{,}0058622.
Para x=0{,}6: p_1=1{,}2463749, r=-0{,}0233749, r^2\approx 0{,}0005466.
Para x=0{,}75: p_1=1{,}32559, r=0{,}09641, r^2\approx 0{,}0092953.
Somando os r_i^2 obtenho
S_1 \approx 0{,}00496819 + 0{,}00002237 + 0{,}0038722 + 0{,}0058622 + 0{,}0005466 + 0{,}0092953 \approx 0{,}0245669.
Esse é o resíduo (soma dos quadrados) para o polinômio de grau 1.

Passo 5

Ajuste quadrático (grau 2) — formulação e resolução (passo a passo):
  • A parábola procurada tem forma \displaystyle p_2(x)=b_0 + b_1 x + b_2 x^2\). - As equações normais (três equações) são \[\begin{cases} n b_0 + (\sum x)\,b_1 + (\sum x^2)\,b_2 = \sum y,\\[4pt] (\sum x)\,b_0 + (\sum x^2)\,b_1 + (\sum x^3)\,b_2 = \sum xy,\\[4pt] (\sum x^2)\,b_0 + (\sum x^3)\,b_1 + (\sum x^4)\,b_2 = \sum x^2y. \end{cases}
  • Substituindo os somatórios numéricos:
\begin{cases} 6 b_0 + 2{,}31\,b_1 + 1{,}2911\,b_2 = 6{,}797,\\[4pt] 2{,}31\,b_0 + 1{,}2911\,b_1 + 0{,}796041\,b_2 = 2{,}82901,\\[4pt] 1{,}2911\,b_0 + 0{,}796041\,b_1 + 0{,}51824771\,b_2 = 1{,}6410741. \end{cases}
  • Resolvi esse sistema por eliminação (mostro o núcleo do procedimento numérico):
    • Eliminei b_0\] das equações 2 e 3 usando a equação 1. Isso levou ao sistema reduzido de duas equações em \[b_1,b_2: \begin{cases} 0{,}40175\,b_1 + 0{,}2989675\,b_2 = 0{,}212165,\\[4pt] 0{,}2989675\,b_1 + 0{,}2404245083\,b_2 = 0{,}1784741. \end{cases}
    • Dessa pequena 2\times2\] resolvi por eliminação/Cramer, obtendo (cálculos mostrados passo a passo nos números): \[b_2 \approx 1{,}147545,\qquad b_1 \approx -0{,}325727.\] - Voltando na primeira equação para \(b_0: 6 b_0 + 2{,}31(-0{,}325727) + 1{,}2911(1{,}147545) = 6{,}797que dá b_0 \approx 1{,}0113056.
  • Portanto o ajuste quadrático obtido é
\boxed{p_2(x)=1{,}0113056 - 0{,}325727\,x + 1{,}147545\,x^2.}]

Passo 6

Cálculo dos resíduos para o ajuste quadrático:
  • Mesma definição: r_i = y_i - p_2(x_i), S_2=\sum r_i^2.
  • Calculei p_2(x_i), r_i e r_i^2 ponto a ponto:
Para x=0: p_2=1{,}0113056, r=-0{,}0113056, r^2\approx 0{,}0001278.
Para x=0{,}15: p_2\approx 0{,}9882663, r\approx 0{,}0157337, r^2\approx 0{,}0002476.
Para x=0{,}31: p_2\approx 1{,}0206093, r\approx 0{,}0103907, r^2\approx 0{,}00010798.
Para x=0{,}5: p_2\approx 1{,}1353284, r\approx -0{,}0183284, r^2\approx 0{,}0003359.
Para x=0{,}6: p_2\approx 1{,}2289856, r\approx -0{,}0059856, r^2\approx 0{,}00003582.
Para x=0{,}75: p_2\approx 1{,}4125034, r\approx 0{,}0094966, r^2\approx 0{,}00009017.
Somando os quadrados:
S_2 \approx 0{,}0001278 + 0{,}0002476 + 0{,}00010798 + 0{,}0003359 + 0{,}00003582 + 0{,}00009017 \approx 0{,}0009453.

Passo 7

Comparação e conclusão final (motivação lógica):
  • O resíduo do ajuste linear é S_1\approx 0{,}0245669.
  • O resíduo do ajuste quadrático é S_2\approx 0{,}0009453.
  • Como queremos o menor valor de soma dos quadrados dos resíduos, o polinômio de grau 2 fornece o melhor ajuste (resíduo muito menor).

Resposta

p_1(x)=0{,}9295147 + 0{,}5281003\,x,\quad S_1\approx 0{,}0245669
p_2(x)=1{,}0113056 - 0{,}325727\,x + 1{,}147545\,x^2,\quad S_2\approx 0{,}0009453
O polinômio de grau 2 fornece o menor resíduo ( S_2<S_1).

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