Calcular a solução dos sistemas abaixo, usando a decomposição de Cholesky.
[rrcc4 & -2 & 4 & 10 -2 & 2 & -1 & -7 4 & -1 & 14 & 11 10 & -7 & 11 & 31][lx1 x2 x3 x4]=[r2 2 -1 -2].

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente resolva um sistema A,x=b de tamanho 4times4 usando a decomposição de Cholesky.
Conteúdo: matrizes simétricas positivas definidas e decomposição A = L,L^T onde L é triangular inferior. Depois a gente resolve dois sistemas triangulares:
  1. L,y = b (substituição direta)
  2. L^T,x = y (substituição reversa)
    Não precisa ter nada decorado além das fórmulas de Cholesky e da técnica de forward/back substitution.

Passo 2

Vamos montar L a partir de A. A regra geral é:
  • Para a diagonal
Lii = raiz,Aii ;-;sumk=1^i-1Lik^2,
- Para as entradas abaixo da diagonal ( i>j)
Lij = 1Ljjl(Aij ;-;sumk=1^j-1Lik,Ljkr)
Aplicando passo a passo:
  1. L11 = raiz4 = 2.
  2. L21 = dfrac-22 = -1, L31 = dfrac42 = 2, L41 = dfrac102 = 5
  3. L22 = raiz2 - (-1)^2 = raiz1 = 1
  4. L32 = dfrac-1 - (2)(-1)1 = 1, L42 = dfrac-7 - (5)(-1)1 = -2
  5. L33 = raiz14 - (2^2 + 1^2) = raiz9 = 3
  6. L43 = dfrac11 - (5cdot2 + (-2)cdot1)3 = dfrac11 - (10 -2)3 = 1
  7. L44 = raiz31 - (5^2 + (-2)^2 + 1^2) = raiz1 = 1
No fim temos
L = 2 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 2 & 1 & 3 & 0 5 & -2 & 1 & 1

Passo 3

Agora resolvemos L,y = b com b=(2,2,-1,-2)^T por substituição direta:
  1. y1 = dfrac22 = 1
  2. y2 = dfrac2 - (-1),y11 = dfrac2 +11 = 3
  3. y3 = dfrac-1 - 2,y1 - 1,y23 = dfrac-1 -2 -33 = -2
  4. y4 = dfrac-2 - 5,y1 -(-2),y2 -1,y31 = dfrac-2 -5 +6 +21 = 1
Logo y = (1,3,-2,1)^T.

Passo 4

Depois resolvemos L^T,x = y por substituição reversa. A matriz L^T é triangular superior:
  1. x4 = dfracy4L44 = dfrac11 = 1
  2. x3 = dfracy3 - L43,x4L33 = dfrac-2 - 1cdot13 = -1
  3. x2 = dfracy2 - L32,x3 - L42,x4L22 = dfrac3 -1cdot(-1) -(-2)cdot11 = 6
  4. x1 = dfracy1 - L21,x2 - L31,x3 - L41,x4L11 = dfrac1 -(-1),6 -2cdot(-1) -5cdot12 = 2

Resposta

O vetor solução é
x = 2 6 -1 1

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