Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição LU (Doolittle), com a estratégia indicada (utilizando aproximações com 4 casas decimais).
Com pivotação parcial
\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\ -5 & -1 & 4 \\\ 2 & 4 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 17 \\\ -2 \\\ 24 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear usando a decomposição LU pelo método de Doolittle com pivotação parcial e aproximando resultados com 4 casas decimais. O sistema dado é:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ -5 & -1 & 4 \\\\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\\\ -2 \\\\ 24 \end{pmatrix}
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ -5 & -1 & 4 \\\\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix} 17 \\\\ -2 \\\\ 24 \end{pmatrix},
metodologia exigida: decomposição LU (Doolittle) com pivotação parcial e aproximações com 4 casas decimais.

Passo 2

Breve lembrança do método (explicação didática):
  • No método de Doolittle queremos fatorar (após permutações) PA=LU, onde P é matriz de permutação, L é triangular inferior com 1 na diagonal e U é triangular superior.
  • Em cada etapa k fazemos pivotação parcial: escolhemos, entre as linhas k a n, a linha com maior valor absoluto na coluna k e trocamos linhas (isso mantém estabilidade numérica). Quando trocamos linhas, aplicamos a mesma troca em b e atualizamos a parte já formada de L.
  • Fórmulas úteis (intuito): ao produzir U e L iterativamente, U_{k,j} = A_{k,j} - \sum_{m=1}^{k-1} L_{k,m}U_{m,j},\qquad j\ge k,
L_{i,k} = \frac{1}{U_{k,k}}\left(A_{i,k} - \sum_{m=1}^{k-1} L_{i,m}U_{m,k}\right),\qquad i>k.
  • Depois de obter P,L,U resolvemos PAx=Pb por duas substituições: primeiro Ly=Pb (substituição para frente), depois Ux=y (substituição para trás).
    Vou aplicar passo a passo essas ideias, sempre arredondando os valores apresentados a 4 casas decimais.

Passo 3

Primeira etapa (coluna 1): pivotação parcial na coluna 1 (linhas 1 a 3).
  • Valores absolutos na coluna 1: |1|=1,\;|-5|=5,\;|2|=2. O maior é |-5|=5 (linha 2).
  • Troco a linha 1 com a linha 2 em A e aplico a mesma troca em b. A permutação parcial acumulada P começa com essa troca.
    Após a troca:
A^{(1)}=\begin{pmatrix} -5 & -1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix},\qquad b^{(1)}=\begin{pmatrix} -2 \\\\ 17 \\\\ 24 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular multiplicadores da coluna 1 (valores de L abaixo da diagonal) e primeira linha de U.
  • U_{1,1}=-5,\;U_{1,2}=-1,\;U_{1,3}=4 (é a primeira linha de U).
  • Multiplicadores: L_{2,1}=\frac{A^{(1)}_{2,1}}{U_{1,1}}=\frac{1}{-5}=-0{,}2\quad(\text{arred. }-0{,}2000),
L_{3,1}=\frac{A^{(1)}_{3,1}}{U_{1,1}}=\frac{2}{-5}=-0{,}4\quad(\text{arred. }-0{,}4000).
Vou mostrar com 4 casas decimais: L_{2,1}=-0{,}2000, L_{3,1}=-0{,}4000.

Passo 5

Atualizar linhas 2 e 3 (eliminar a coluna 1) para obter os elementos restantes de U (usando U_{1,j} e os multiplicadores).
  • Para a linha 2: U_{2,2}=A^{(1)}_{2,2}-L_{2,1}U_{1,2}=2-(-0{,}2000)(-1)=2-0{,}2000=1{,}8000,
U_{2,3}=A^{(1)}_{2,3}-L_{2,1}U_{1,3}=3-(-0{,}2000)(4)=3+0{,}8000=3{,}8000.
  • Para a linha 3: U_{3,2}=A^{(1)}_{3,2}-L_{3,1}U_{1,2}=4-(-0{,}4000)(-1)=4-0{,}4000=3{,}6000,
U_{3,3}=A^{(1)}_{3,3}-L_{3,1}U_{1,3}=1-(-0{,}4000)(4)=1+1{,}6000=2{,}6000.
Assim, depois da primeira coluna temos (mostrando U parcial):
U^{(1)}=\begin{pmatrix} -5 & -1 & 4 \\\\ 0 & 1{,}8000 & 3{,}8000 \\\\ 0 & 3{,}6000 & 2{,}6000 \end{pmatrix},
e L tem na primeira coluna (abaixo da diagonal) L_{2,1}=-0{,}2000,\;L_{3,1}=-0{,}4000.

Passo 6

Segunda etapa (coluna 2): pivotação parcial entre linhas 2 e 3 usando a coluna 2 da U^{(1)}.
  • Na coluna 2 (linhas 2 e 3) os valores absolutos são |1{,}8000|=1{,}8000 e |3{,}6000|=3{,}6000. O maior está na linha 3.
  • Então trocamos a linha 2 com a linha 3. Essa troca deve ser feita em U, em b^{(1)} (para produzir o Pb correto) e nas entradas já calculadas de L (trocar os multiplicadores das colunas anteriores entre as duas linhas).
    Aplicando a troca (linhas 2 e 3):
U^{(1)}\\ \text{(após troca)} = \begin{pmatrix} -5 & -1 & 4 \\\\ 0 & 3{,}6000 & 2{,}6000 \\\\ 0 & 1{,}8000 & 3{,}8000 \end{pmatrix},ó
os multiplicadores na coluna 1 trocam de lugar: agora L_{2,1}=-0{,}4000,\;L_{3,1}=-0{,}2000.
Também trocamos b^{(1)} nas posições 2 e 3:
b^{(2)}=\begin{pmatrix} -2 \\\\ 24 \\\\ 17 \end{pmatrix}.

Passo 7

Calcular o multiplicador da coluna 2 (posição L_{3,2}) e atualizar U_{3,3}.
  • Multiplicador: L_{3,2}=\frac{U_{3,2}}{U_{2,2}}=\frac{1{,}8000}{3{,}6000}=0{,}5\quad(\text{arred. }0{,}5000).
  • Atualizar U_{3,3}: U_{3,3}=U_{3,3}-L_{3,2}U_{2,3}=3{,}8000-0{,}5000\cdot2{,}6000=3{,}8000-1{,}3000=2{,}5000.
Agora a matriz U final é:
U=\begin{pmatrix} -5 & -1 & 4 \\\\ 0 & 3{,}6000 & 2{,}6000 \\\\ 0 & 0 & 2{,}5000 \end{pmatrix},
e L (com 1 na diagonal) é:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ -0{,}4000 & 1 & 0 \\\\ -0{,}2000 & 0{,}5000 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 8

Matriz de permutação final P (reflete as trocas feitas: primeiro trocamos 1↔2, depois trocamos as linhas 2 e 3 da configuração permutada):
P=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Confirmação do lado direito permutado que vamos usar:
Pb=b^{(2)}=\begin{pmatrix}-2\\\ 24\\\ 17\end{pmatrix}.
Resumo (com 4 casas decimais):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ -0{,}4000 & 1 & 0 \\\\ -0{,}2000 & 0{,}5000 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} -5 & -1 & 4 \\\\ 0 & 3{,}6000 & 2{,}6000 \\\\ 0 & 0 & 2{,}5000 \end{pmatrix}.

Passo 9

Resolver Ly=Pb por substituição para frente. O sistema é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ -0{,}4000 & 1 & 0 \\\\ -0{,}2000 & 0{,}5000 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\y_2\y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 24\\\ 17\end{pmatrix}.
Calcule passo a passo:
  • Primeira equação: y_1=-2.
  • Segunda equação: -0{,}4000\,y_1 + y_2 = 24. Então y_2 = 24 + 0{,}4000\cdot y_1 = 24 + 0{,}4000\cdot(-2)=24-0{,}8000=23{,}2000.
  • Terceira equação: -0{,}2000\,y_1 + 0{,}5000\,y_2 + y_3 = 17. Então y_3 = 17 + 0{,}2000\,y_1 - 0{,}5000\,y_2.Substituindo y_1=-2 e y_2=23{,}2000: y_3 = 17 + 0{,}2000\cdot(-2) - 0{,}5000\cdot23{,}2000 = 17 -0{,}4000 -11{,}6000 = 5{,}0000.
Portanto y=\begin{pmatrix}-2\\\ 23{,}2000\\\ 5{,}0000\end{pmatrix}.

Passo 10

Resolver Ux=y por substituição para trás. O sistema é
\begin{pmatrix} -5 & -1 & 4 \\\\ 0 & 3{,}6000 & 2{,}6000 \\\\ 0 & 0 & 2{,}5000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 23{,}2000\\\ 5{,}0000\end{pmatrix}.
Calcule de baixo para cima:
  • Terceira equação: 2{,}5000\,x_3 = 5{,}0000. Logo x_3 = \frac{5{,}0000}{2{,}5000}=2{,}0000.
  • Segunda equação: 3{,}6000\,x_2 + 2{,}6000\,x_3 = 23{,}2000. Substituindo x_3=2{,}0000: 3{,}6000\,x_2 = 23{,}2000 - 2{,}6000\cdot2{,}0000 = 23{,}2000 - 5{,}2000 = 18{,}0000,
x_2 = \frac{18{,}0000}{3{,}6000}=5{,}0000.
  • Primeira equação: -5\,x_1 -1\,x_2 + 4\,x_3 = -2. Substituindo x_2=5{,}0000, x_3=2{,}0000: -5\,x_1 = -2 + x_2 - 4x_3 = -2 + 5 - 8 = -5,
x_1 = \frac{-5}{-5}=1{,}0000.
Solução obtida: x_1=1{,}0000,\;x_2=5{,}0000,\;x_3=2{,}0000.

Resposta

x_{1}=1{,}0000
x_{2}=5{,}0000
x_{3}=2{,}0000

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