Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição LU (Doolittle), com a estratégia indicada (utilizando aproximações com 4 casas decimais).
Com pivotação parcial
O enunciado pede resolver o sistema linear usando a decomposição LU pelo método de Doolittle com pivotação parcial e aproximando resultados com 4 casas decimais. O sistema dado é:
metodologia exigida: decomposição LU (Doolittle) com pivotação parcial e aproximações com 4 casas decimais.
Passo 2
Breve lembrança do método (explicação didática):
No método de Doolittle queremos fatorar (após permutações) PA=LU, onde P é matriz de permutação, L é triangular inferior com 1 na diagonal e U é triangular superior.
Em cada etapa k fazemos pivotação parcial: escolhemos, entre as linhas k a n, a linha com maior valor absoluto na coluna k e trocamos linhas (isso mantém estabilidade numérica). Quando trocamos linhas, aplicamos a mesma troca em b e atualizamos a parte já formada de L.
Fórmulas úteis (intuito): ao produzir U e L iterativamente,U_{k,j} = A_{k,j} - \sum_{m=1}^{k-1} L_{k,m}U_{m,j},\qquad j\ge k,
Depois de obter P,L,U resolvemos PAx=Pb por duas substituições: primeiro Ly=Pb (substituição para frente), depois Ux=y (substituição para trás).
Vou aplicar passo a passo essas ideias, sempre arredondando os valores apresentados a 4 casas decimais.
Passo 3
Primeira etapa (coluna 1): pivotação parcial na coluna 1 (linhas 1 a 3).
Valores absolutos na coluna 1: |1|=1,\;|-5|=5,\;|2|=2. O maior é |-5|=5 (linha 2).
Troco a linha 1 com a linha 2 em A e aplico a mesma troca em b. A permutação parcial acumulada P começa com essa troca.
Após a troca:
e L tem na primeira coluna (abaixo da diagonal) L_{2,1}=-0{,}2000,\;L_{3,1}=-0{,}4000.
Passo 6
Segunda etapa (coluna 2): pivotação parcial entre linhas 2 e 3 usando a coluna 2 da U^{(1)}.
Na coluna 2 (linhas 2 e 3) os valores absolutos são |1{,}8000|=1{,}8000 e |3{,}6000|=3{,}6000. O maior está na linha 3.
Então trocamos a linha 2 com a linha 3. Essa troca deve ser feita em U, em b^{(1)} (para produzir o Pb correto) e nas entradas já calculadas de L (trocar os multiplicadores das colunas anteriores entre as duas linhas).
Aplicando a troca (linhas 2 e 3):