Calcular
com uma tolerância
.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos\n
- Pedido: calcular
com uma tolerância . Ou seja, encontrar uma aproximação tal que .\n - Informação dada:
(ou menor). Não há mais dados numéricos; sabemos apenas que fica entre e .\n
As próximas etapas vão explicar o método escolhido, mostrar cada iteração passo a passo e verificar que a aproximação final satisfaz a tolerância pedida.
Passo 2
Escolha do método e por que: método de Newton (método babilônico)\n
- Motivação: o enunciado não exige um método específico. Para grau de precisão razoável (aqui
) o método de Newton para encontrar raízes é rápido, simples de aplicar com operações básicas (soma, divisão) e converge em poucas iterações para . Se preferir um método totalmente garantido e mais lento, pode-se usar bissecção; eu escolho Newton porque dá poucas iterações e é prático na prova.\n - Ideia do método de Newton (explicação didática): para achar a raiz da função
usamos iterações baseadas na tangente. A fórmula geral de Newton é
Aqui
. Substituindo:
- Interpretação: cada nova aproximação
é a média aritmética entre e . Isso é conhecido como o método babilônico para raízes quadradas.\n - O que significa cada símbolo:
é a aproximação atual de ; é a próxima aproximação obtida pela fórmula acima.
Passo 3
Critério de parada (como sabemos que a aproximação atende
)\n
- Critério prático usado: parar quando
. Justificação intuitiva e prática: para Newton, quando já estamos perto da raiz, a sequência converge muito rápido (convergência quadrática) e a diferença entre iterações sucessivas fica pequena muito mais rápido que o erro real; assim é um bom indicador de que estamos dentro da tolerância. Além disso, depois de obter a aproximação final, podemos calcular o resíduo para verificar que o erro é realmente pequeno.\n - Observação rigorosa curta: para todo
vale
logo controlar o resíduo
também dá controle do erro. No procedimento a seguir eu vou tanto usar
para parar quanto calcular
para confirmar.
Passo 4
Escolha do chute inicial e primeira iteração\n
- Vamos escolher
(óbvio e simples; está entre e ).\n - Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 5
Segunda iteração (mostrar contas exatas quando possível)\n
- Com
:
Calcule em forma fracionária:
Dividindo por
:
Passo 6
Terceira iteração (contas passo a passo)\n
- Usando
:
Somando com denom comum
:
dividindo por
:
- Diferença entre iterações:
mas em valor absoluto
Passo 7
Quarta iteração (contas e verificação do critério)\n
- Usando
:
Calcule
:
Agora a média:
- Diferença entre iterações:
logo
Esse valor é menor que
, portanto o critério
é satisfeito na iteração
.
Passo 8
Verificação do resíduo para confirmar a precisão\n
- Calcular
para checar o erro real:
Logo
Usando a desigualdade
o que é muito menor que
. Portanto a aproximação
satisfaz largamente a tolerância pedida.
Passo 9
Conclusão e valor final (o que levar para a prova)\n
- A iteração parou em
porque e o resíduo confirma erro muito menor que .\n - Valor prático (arredondado de forma adequada): convém dar a resposta com pelo menos 5 casas decimais corretas. Um valor com segurança dentro da tolerância é
Esse valor difere de
por menos de
(na verdade por cerca de
).\n
- Dica para a prova: comece com
ou ; normalmente 3 ou 4 iterações de Newton já bastam para . Sempre verifique e, se quiser garantir rigor, compute também .