Calcular \sqrt{2} com uma tolerância \epsilon \leq 10^{-5}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos\n
  • Pedido: calcular \sqrt{2} com uma tolerância \epsilon \leq 10^{-5}. Ou seja, encontrar uma aproximação \tilde{x} tal que |\tilde{x}-\sqrt{2}|\le 10^{-5}.\n
  • Informação dada: \epsilon = 10^{-5} (ou menor). Não há mais dados numéricos; sabemos apenas que \sqrt{2} fica entre 1 e 2.\n
    As próximas etapas vão explicar o método escolhido, mostrar cada iteração passo a passo e verificar que a aproximação final satisfaz a tolerância pedida.

Passo 2

Escolha do método e por que: método de Newton (método babilônico)\n
  • Motivação: o enunciado não exige um método específico. Para grau de precisão razoável (aqui 10^{-5}) o método de Newton para encontrar raízes é rápido, simples de aplicar com operações básicas (soma, divisão) e converge em poucas iterações para \sqrt{2}. Se preferir um método totalmente garantido e mais lento, pode-se usar bissecção; eu escolho Newton porque dá poucas iterações e é prático na prova.\n
  • Ideia do método de Newton (explicação didática): para achar a raiz da função f(x)=x^{2}-2 usamos iterações baseadas na tangente. A fórmula geral de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f'(x)=2x. Substituindo:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^{2}-2}{2x_n}=\frac{2x_n-(x_n^{2}-2)}{2x_n}=\frac{x_n+\dfrac{2}{x_n}}{2}.
  • Interpretação: cada nova aproximação x_{n+1} é a média aritmética entre x_n e 2/x_n. Isso é conhecido como o método babilônico para raízes quadradas.\n
  • O que significa cada símbolo: x_n é a aproximação atual de \sqrt{2}; x_{n+1} é a próxima aproximação obtida pela fórmula acima.

Passo 3

Critério de parada (como sabemos que a aproximação atende \epsilon)\n
  • Critério prático usado: parar quando |x_{n+1}-x_n|\le \epsilon. Justificação intuitiva e prática: para Newton, quando já estamos perto da raiz, a sequência converge muito rápido (convergência quadrática) e a diferença entre iterações sucessivas fica pequena muito mais rápido que o erro real; assim |x_{n+1}-x_n| é um bom indicador de que estamos dentro da tolerância. Além disso, depois de obter a aproximação final, podemos calcular o resíduo x_{n+1}^{2}-2 para verificar que o erro é realmente pequeno.\n
  • Observação rigorosa curta: para todo x>0 vale
|x-\sqrt{2}|=\frac{|x^{2}-2|}{x+\sqrt{2}}\le\frac{|x^{2}-2|}{x},
logo controlar o resíduo |x^{2}-2| também dá controle do erro. No procedimento a seguir eu vou tanto usar |x_{n+1}-x_n|\le\epsilon para parar quanto calcular |x_{n+1}^{2}-2| para confirmar.

Passo 4

Escolha do chute inicial e primeira iteração\n
  • Vamos escolher x_0=1 (óbvio e simples; \sqrt{2} está entre 1 e 2).\n
  • Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=\frac{x_0+\dfrac{2}{x_0}}{2}=\frac{1+\dfrac{2}{1}}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}=1,5.

Passo 5

Segunda iteração (mostrar contas exatas quando possível)\n
  • Com x_1=\dfrac{3}{2}:
x_{2}=\frac{x_1+\dfrac{2}{x_1}}{2}=\frac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3/2}}{2}=\frac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}}{2}.
Calcule em forma fracionária:
\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{6},\qquad \dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{6}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{9}{6}+\dfrac{8}{6}=\dfrac{17}{6}.
Dividindo por 2:
x_{2}=\frac{17}{12}\approx 1{,}4166666667.

Passo 6

Terceira iteração (contas passo a passo)\n
  • Usando x_2=\dfrac{17}{12}:
x_{3}=\frac{x_2+\dfrac{2}{x_2}}{2}=\frac{\dfrac{17}{12}+\dfrac{2}{17/12}}{2}=\frac{\dfrac{17}{12}+\dfrac{24}{17}}{2}.
Somando com denom comum 204:
\dfrac{17}{12}=\dfrac{289}{204},\qquad \dfrac{24}{17}=\dfrac{288}{204},
\dfrac{289}{204}+\dfrac{288}{204}=\dfrac{577}{204},
dividindo por 2:
x_{3}=\frac{577}{408}\approx 1{,}4142156862745098.
  • Diferença entre iterações:
|x_3-x_2|\approx 1{,}4142156862745098-1{,}4166666666666667\approx 0{,}-0{,}0024509803921569,
mas em valor absoluto
|x_3-x_2|\approx 0{,}0024509803921569\quad(\text{ainda maior que }10^{-5}).

Passo 7

Quarta iteração (contas e verificação do critério)\n
  • Usando x_3\approx 1{,}4142156862745098:
x_{4}=\frac{x_3+\dfrac{2}{x_3}}{2}.
Calcule 2/x_3:
\frac{2}{1{,}4142156862745098}\approx 1{,}41421143847487.
Agora a média:
x_{4}\approx\frac{1{,}4142156862745098+1{,}41421143847487}{2}\approx 1{,}4142135623746899.
  • Diferença entre iterações:
|x_4-x_3|\approx 1{,}4142135623746899-1{,}4142156862745098\approx -0{,}0000021238998199,
logo
|x_4-x_3|\approx 2{,}1239\times 10^{-6}.
Esse valor é menor que \epsilon=10^{-5}, portanto o critério |x_{n+1}-x_n|\le\epsilon é satisfeito na iteração 4.

Passo 8

Verificação do resíduo para confirmar a precisão\n
  • Calcular x_4^{2}-2 para checar o erro real:
x_{4}\approx 1{,}4142135623746899\quad\Rightarrow\quad x_{4}^{2}\approx 2{,}0000000000407\ldots
Logo
|x_{4}^{2}-2|\approx 4{,}07\times 10^{-11}.
Usando a desigualdade
|x_4-\sqrt{2}|=\frac{|x_4^{2}-2|}{x_4+\sqrt{2}}\le\frac{|x_4^{2}-2|}{x_4}\approx\frac{4{,}07\times10^{-11}}{1{,}4142}\approx 2{,}88\times10^{-11},
o que é muito menor que 10^{-5}. Portanto a aproximação x_4 satisfaz largamente a tolerância pedida.

Passo 9

Conclusão e valor final (o que levar para a prova)\n
  • A iteração parou em x_4 porque |x_4-x_3|\le 10^{-5} e o resíduo confirma erro muito menor que 10^{-5}.\n
  • Valor prático (arredondado de forma adequada): convém dar a resposta com pelo menos 5 casas decimais corretas. Um valor com segurança dentro da tolerância é
\tilde{x}=1{,}4142135624.
Esse valor difere de \sqrt{2} por menos de 10^{-5} (na verdade por cerca de 3\times10^{-11}).\n
  • Dica para a prova: comece com x_0=1 ou x_0=1{,}5; normalmente 3 ou 4 iterações de Newton já bastam para \epsilon=10^{-5}. Sempre verifique |x_{n+1}-x_n| e, se quiser garantir rigor, compute também x_{n+1}^{2}-2.

Resposta

\sqrt{2}\approx 1{,}4142135624

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