Exercício 2.6. (*) Seja
um primo, e seja
um inteiro positivo não divisível por
. Mostre que
é divisível por p. (Sugestão: dado que
pode ser par, nem sempre podemos usar o truque do cancelamento. Mas o método da reordenação já funciona.
Seja
um gerador de
: então
sempre que
não seja múltiplo de
. Calcule agora
de dois modos diferentes.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um primo
e um inteiro positivo
que não é múltiplo de
, a soma
é divisível por
.
Conteúdo: grupos multiplicativos finitos e reordenação de soma em . Vamos usar que o grupo
é cíclico de ordem
.
Conteúdo: grupos multiplicativos finitos e reordenação de soma em
Passo 2
Escolhemos um gerador
de
, ou seja,
tem ordem exata
. Como
não é múltiplo de
, temos
Passo 3
Observe que a multiplicação por
permuta os resíduos não nulos módulo
. Logo, se definirmos
então o conjunto
é apenas uma reordenação de
. Portanto
Passo 4
Por outro lado,
Passo 5
Juntando as duas expressões para
temos
Como
, segue que
. Logo podemos multiplicar pela inversa de
e obter