Calcule

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um limite:
limx to 0 (e^2)^x - 1x
Isso cai na matéria de limites envolvendo funções exponenciais. Pra resolver, a gente vai usar duas ideias principais:
  1. a propriedade ;
  2. o limite básico .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o numerador usando a regra de potência de expoentes:
(e^2)^x = e^2x
Então nosso limite vira
limx to 0 e^2x - 1x
Até agora só foi troca de notação.

Passo 3

A gente sabe daquela “receita” que para qualquer e^u - 1u approx 1 Longrightarrow limuto0e^u - 1u = 1 pequeno
e^2x - 1x = e^2x - 12x cdot 2
Aqui dentro do expoente tá , não . Então deixa a gente “forçar” esse padrão. Escreve o quociente assim:
Repare que multiplicar e dividir por não muda o valor, só reorganiza.

Passo 4

Agora você vê um pedaço limxto0e^2x - 12x = limuto0e^u - 1u = 1 . Se a gente chamar limxto0e^2x-1x = limxto0l(e^2x-12xcdot 2r) = 1 times 2 , quando também . Logo
Então nosso limite fica

Resposta

2

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