Calcule

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa achar
Matéria envolvida: limites indeterminados (forma limxto 0x+sen x,x-sen x, ) e aplicação da Regra de L’Hôpital. Vamos usar a teoria passo a passo.

Passo 2

Verificar que, ao substituir x+sen x = 0 + 0 = 0, x-sen x = 0 - 0 = 0, :

ou seja, temos a forma indeterminada limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x), . Aí entra a Regra de L’Hôpital: se e , e , são deriváveis perto de , então
[
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}

\lim_{x\to a}\frac{f’(x)}{g’(x)},
]
desde que esse novo limite exista ou seja .

Passo 3

Aqui e . Vamos derivar:
f'(x)=1+cos x, g'(x)=1-cos x
Pela L’Hôpital,
[
\lim_{x\to 0}\frac{x+\sen x}{x-\sen x}

\lim_{x\to 0}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}.
]

Passo 4

Agora olhamos o novo limite. Quando 1+cos x ;to;2, 1-cos x ;to;0 , , então
Para saber se vai dar ou , analisamos o sinal de :
  • Para muito pequeno (positivo ou negativo), só quando ? Na verdade, para perto de zero, , então .
    Logo o denominador é positivo e o numerador tende a , resultando em .

Resposta

Exercícios relacionados