Calcule
Passo 1
Resumo da questão: a gente precisa achar
Matéria envolvida: limites indeterminados (forma
) e aplicação da Regra de L’Hôpital. Vamos usar a teoria passo a passo.
Passo 2
Verificar que, ao substituir
:
ou seja, temos a forma indeterminada
. Aí entra a Regra de L’Hôpital: se
e
, e
,
são deriváveis perto de
, então
[
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
\lim_{x\to a}\frac{f’(x)}{g’(x)},
]
]
desde que esse novo limite exista ou seja
.
Passo 3
Aqui e . Vamos derivar:
Pela L’Hôpital,
[
\lim_{x\to 0}\frac{x+\sen x}{x-\sen x}
\lim_{x\to 0}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}.
]
]
Passo 4
Agora olhamos o novo limite. Quando
,
, então
Para saber se vai dar
ou
, analisamos o sinal de
:
- Para
muito pequeno (positivo ou negativo), só quando ? Na verdade, para perto de zero, , então .
Logo o denominador é positivo e o numerador tende a, resultando em .