Dadas as funcoes reais
;
Calcule:
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz:
Temos as funções
e a gente precisa achar
Conteúdo da matéria: limites de funções ao se aproximar de um ponto, especialmente de funções racionais (frações). Vamos precisar lembrar como simplificar frações e estudar o comportamento quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro escreve direitinho a razão que aparece no limite:
[
\frac{f_2(x)}{f_4(x)}
\frac{\frac{1}{x4}}{\frac{3}{x3-1}}
]
]
Para simplificar, dividimos a primeira fração pela segunda, o que dá:
[
\frac{1}{x4};\times;\frac{x3-1}{3}
\frac{x3-1}{3,x4}.
]
]
Aqui a teoria é: dividir frações é multiplicar pela inversa, e depois juntar numerador com numerador e denominador com denominador.
Passo 3
Agora vamos ver o que acontece quando
:
– O numerador
tende a
.
– O denominador tende a
, mas reparou que
é sempre não‐negativo (é uma potência de grau par), então
tende a zero por valores positivos.
– O denominador
Então nossa expressão fica próxima de
ou seja, um valor negativo que cresce em módulo sem parar. Por isso concluímos que o limite é
.
A teoria aqui é: quando o numerador tende a uma constante não-zero e o denominador tende a zero, o limite “explode” para
ou
dependendo do sinal do numerador e do sinal do denominador.