Calcule (8+i 8 \sqrt{3})^{7}.
(A) 16^{7}\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
(B) 8^{7}\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
(C) 16^{7}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)
(D) 8^{7}\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
(E) 16^{7}\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular (8 + i\,8\sqrt{3})^{7}. O conteúdo envolvido é a forma trigonométrica de números complexos e o Teorema de De Moivre, que diz que
(r(\cos\theta + i\sin\theta))^{n} = r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).

Passo 2

Primeiro fatoramos 8 + i\,8\sqrt{3} como
8 + i\,8\sqrt{3} = 8\bigl(1 + i\sqrt{3}\bigr).
Agora calculamos módulo e argumento de 1 + i\sqrt{3}:
o módulo é
\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1+3} = 2,
e o argumento \theta satisfaz \cos\theta = \tfrac{1}{2}, \sin\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, logo \theta = \pi/3.

Passo 3

Assim
1 + i\sqrt{3} = 2\bigl(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\bigr),
e portanto
8 + i\,8\sqrt{3} = 8 \cdot 2\bigl(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\bigr) = 16\bigl(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\bigr).

Passo 4

Aplicando De Moivre para a sétima potência:
\bigl(16(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))\bigr)^{7} =16^{7}\bigl(\cos(7\pi/3)+i\sin(7\pi/3)\bigr).
Como 7\pi/3 = 2\pi + \pi/3, temos
\cos(7\pi/3)=\cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}, \quad \sin(7\pi/3)=\sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo o resultado em forma retangular é
16^{7}\Bigl(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).

Passo 5

Comparando com as alternativas, corresponde à letra (E).

Resposta

(E) 16^{7}\Bigl(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)

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