Calcule uma aproximação numérica para as seguintes integrais, aplicando um método iterativo:
(4 subintervalos)
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação numérica da integral
usando um método iterativo com
subintervalos. Dados fornecidos e o que precisamos:
Não se resolve nada ainda aqui — só estamos clareando o que foi pedido.
Passo 2
Escolho aplicar a regra dos trapézios composta (um método simples, iterativo e bastante usado em provas). Vou explicar a fórmula e os símbolos antes de aplicar.
- Intuição rápida: em cada subintervalo aproximamos a curva por uma reta (um trapézio) e somamos as áreas desses trapézios.
- Definições:
é o comprimento de cada subintervalo. Denotamos os nós por e . - Fórmula da regra dos trapézios composta:
Aqui é a aproximação da integral com subintervalos. Cada termo está explicado: e são os valores nas extremidades, os intermediários entram com peso 1, e a média aparece porque as extremidades contam só metade em relação aos trapézios intermediários. - Ordem do método: o erro típico do trapézio composto é
. Há um limite de erro prático: Vou usar isso depois para estimar a precisão.
Passo 3
Calculo
, os nós
e os valores
.
- Cálculo de
: - Nós:
- Valores de
(usei aproximações decimais de ):
Se quiser, na prova dá pra obter esses valores com uma calculadora científica; aqui eu os coloquei com precisão suficiente para a aproximação.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do trapézio composto:
Agora substituímos os números e fazemos as contas passo a passo.
- Soma dos pontos internos:
- Média das extremidades:
- Soma total dentro do parêntese:
- Multiplicando por
:
Portanto, a aproximação pela regra dos trapézios composta com
subintervalos é aproximadamente
.
Passo 5
Para avaliar a qualidade da aproximação, calculo o valor exato da integral e o erro.
- Valor exato (usar primitiva): uma primitiva de
é . Logo Numericamente: - Erro absoluto da aproximação:
- Estimativa do erro pelo limite do trapézio: aqui
, que atinge o máximo no intervalo em , com . O limite de erro é Observamos que o erro real é menor que o limite estimado , então a aproximação está dentro da previsão do método.
Dica rápida para a prova: se precisar de mais precisão, dobre
(ex.:
) e reaplique a fórmula; o erro cai aproximadamente com
, ou use a regra de Simpson (exige
par) que geralmente dá maior precisão para a mesma
.