Calcule uma aproximação numérica para as seguintes integrais, aplicando um método iterativo:
\int_{1}^{2} e^{-x} d x (4 subintervalos)

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação numérica da integral
\int_{1}^{2} e^{-x}\,dx
usando um método iterativo com 4 subintervalos. Dados fornecidos e o que precisamos:
\text{intervalo }[a,b]=[1,2],\qquad f(x)=e^{-x},\qquad n=4.
Não se resolve nada ainda aqui — só estamos clareando o que foi pedido.

Passo 2

Escolho aplicar a regra dos trapézios composta (um método simples, iterativo e bastante usado em provas). Vou explicar a fórmula e os símbolos antes de aplicar.
  • Intuição rápida: em cada subintervalo aproximamos a curva por uma reta (um trapézio) e somamos as áreas desses trapézios.
  • Definições: h=\frac{b-a}{n}é o comprimento de cada subintervalo. Denotamos os nós por x_i = a + i h\quad (i=0,1,\dots,n),e f_i=f(x_i).
  • Fórmula da regra dos trapézios composta: T_n = h\left(\frac{f_0+f_n}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f_i\right).Aqui T_n é a aproximação da integral com n subintervalos. Cada termo está explicado: f_0 e f_n são os valores nas extremidades, os f_i intermediários entram com peso 1, e a média (f_0+f_n)/2 aparece porque as extremidades contam só metade em relação aos trapézios intermediários.
  • Ordem do método: o erro típico do trapézio composto é O(h^2). Há um limite de erro prático: |E_T|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\max_{[a,b]}|f''(x)|.Vou usar isso depois para estimar a precisão.

Passo 3

Calculo h, os nós x_i e os valores f_i=e^{-x_i}.
  • Cálculo de h: h=\frac{2-1}{4}=0,25.
  • Nós: x_0=1, \; x_1=1,25,\; x_2=1,5,\; x_3=1,75,\; x_4=2.
  • Valores de f_i=e^{-x_i} (usei aproximações decimais de e^{-x}): f_0=e^{-1}\approx 0,3678794412,
f_1=e^{-1,25}\approx 0,2865047969,
f_2=e^{-1,5}\approx 0,2231301601,
f_3=e^{-1,75}\approx 0,1737739435,
f_4=e^{-2}\approx 0,1353352832.
Se quiser, na prova dá pra obter esses valores com uma calculadora científica; aqui eu os coloquei com precisão suficiente para a aproximação.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do trapézio composto:
T_4 = h\left(\frac{f_0+f_4}{2} + (f_1+f_2+f_3)\right).
Agora substituímos os números e fazemos as contas passo a passo.
  • Soma dos pontos internos: f_1+f_2+f_3 \approx 0,2865047969 + 0,2231301601 + 0,1737739435 = 0,6834089005.
  • Média das extremidades: \frac{f_0+f_4}{2} \approx \frac{0,3678794412 + 0,1353352832}{2} = \frac{0,5032147244}{2}=0,2516073622.
  • Soma total dentro do parêntese: 0,2516073622 + 0,6834089005 = 0,9350162627.
  • Multiplicando por h=0,25: T_4 \approx 0,25 \times 0,9350162627 = 0,2337540657.
Portanto, a aproximação pela regra dos trapézios composta com 4 subintervalos é aproximadamente 0,2337540657.

Passo 5

Para avaliar a qualidade da aproximação, calculo o valor exato da integral e o erro.
  • Valor exato (usar primitiva): uma primitiva de e^{-x} é -e^{-x}. Logo \int_{1}^{2} e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{1}^{2} = -e^{-2} - \bigl(-e^{-1}\bigr) = e^{-1}-e^{-2}.Numericamente: \int_{1}^{2} e^{-x}\,dx = e^{-1}-e^{-2} \approx 0,3678794412 - 0,1353352832 = 0,2325441580.
  • Erro absoluto da aproximação: |E| \approx |T_4 - (\text{valor exato})| \approx |0,2337540657 - 0,2325441580| = 0,0012099077.
  • Estimativa do erro pelo limite do trapézio: aqui f''(x)=e^{-x}, que atinge o máximo no intervalo em x=1, com f''(1)=e^{-1}\approx 0,3678794412. O limite de erro é |E_T|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\max_{[a,b]}|f''(x)| = \frac{1\cdot (0,25)^2}{12}\,e^{-1} = \frac{0,0625}{12}e^{-1}\approx 0,00191533.Observamos que o erro real 0,0012099 é menor que o limite estimado \approx 0,0019153, então a aproximação está dentro da previsão do método.
Dica rápida para a prova: se precisar de mais precisão, dobre n (ex.: n=8) e reaplique a fórmula; o erro cai aproximadamente com h^2, ou use a regra de Simpson (exige n par) que geralmente dá maior precisão para a mesma n.

Resposta

0,2337540657

Exercícios relacionados