Determine os valores das constantes a4, a3, a2, a1 e a0 para que a função polinomial dada por
f(x)=a4 x^4+a3 x^3+a2 x^2+a1 x+a0
passe pelos pontos (-2,-24),(-1,10),(1,6),(2,4) e (3,-54), e encontre uma estimativa para f(-3) e para f(4).

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um polinômio de grau 4
f(x)=a4x^4 + a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0
e a gente sabe cinco pares (-2,-24),;(-1,10),;(1,6),;(2,4),;(3,-54) :
O conteúdo é de “interpolação polinomial” ou, na prática, montar um sistema linear de 5 equações para os 5 coeficientes . Vamos precisar montar essas equações, usar eliminação por subtração para simplificar e achar cada , e por fim calcular e .

Passo 2

Escrevemos uma equação para cada ponto, só trocando e :
  1. Para :
    .
  2. Para :
    .
  3. Para :
    .
  4. Para :
    .
  5. Para :
    .

Passo 3

Agora usamos subtrações inteligentes pra eliminar (a4+a3+a2+a1+a0);-;(a4 -a3+a2 -a1+a0);=;6-10 e achar primeiro 2a3 +2a1 = -4 Longrightarrow a3 + a1 = -2(6) e (16a4+8a3+4a2+2a1+a0);-;(16a4-8a3+4a2-2a1+a0);=;4-(-24) .
  • Subtraindo a eq. 2 da eq. 3:
16a3 +4a1 = 28 Longrightarrow 4a3 + a1 = 7(7)
que vira
a3 + a1 = -24a3 + a1 = 7
  • Subtraindo a eq. 1 da eq. 4:
(4a3+a1)-(a3+a1)=7-(-2);Rightarrow;3a3=9;Rightarrow;a3=3
fica
Agora resolvemos o sistema

subtraindo:
Então .

Passo 4

Com a4 + a2 + a0 = 8 [3pt] 16a4+4a2 +a0 = -10 [3pt] 81a4+9a2 +a0 = -120, e 5a4 + a2 = -6, 13a4 + a2 = -22 , voltamos em três das equações iniciais (por exemplo eq. 2, eq. 4 e eq. 5) para achar . O sistema vira:
(2) .
(4) .
(5) .
Chamando essas três de
fazendo subtrações sucessivas chegamos a
Subtraindo de novo: .
Então .
E de tira-se .

Passo 5

Pronto, achamos todos:
a4=-2, a3=3, a2=4, a1=-5, a0=6
Logo
f(x) = -2x^4 +3x^3 +4x^2 -5x +6
Basta agora calcular:


Resposta

Os coeficientes são
a4=-2, a3=3, a2=4, a1=-5, a0=6,
e a estimativa dá
f(-3)=-186, f(4)=-270

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