Dado o problema de valor inicial (PVI):
l x y^prime+y=cos x y(2)=1
a) Calcule y(3) utilizando o método de Euler com h=0.1;
b) Calcule y(3) utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com h=0.25;

Passo 1

Beleza, temos um problema de valor inicial (PVI):
x,y'(x) + y(x) = cos x, y(2)=1
É um EDO linear, mas em vez de resolver exatamente, vamos aproximar por dois métodos numéricos:
a) Método de Euler com passo (10 iterações de 2 até 3).
b) Método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo (4 iterações).
O que precisamos:
  • Expressar a derivada como .
  • Saber as fórmulas de iteração de Euler e de RK4.
  • Calcular passo a passo (vou mostrar a ideia e alguns valores, depois apresento o valor final).

Passo 2

Antes de tudo, isolamos y' = cos x - yx =: f(x,y) . Da equação , vem
Tudo que a gente precisa é avaliar a cada iteração.

Passo 3

Método de Euler (passo yn+1 = yn + h,f(xn,yn), xn+1=xn+h ):
f(2,1)=cos2 -12approx-0.4161468-12=-0.7080734,
Começamos em y1 = 1.0 + 0.1cdot(-0.7080734)=0.9291927, x1=2.1 .
Exemplo das duas primeiras iterações:
  1. f(2.1,0.92919)=cos2.1-0.929192.1approx-0.68288, y2 = 0.92919 + 0.1cdot(-0.68288)=0.86090, x2=2.2 y(3)approx y10approx0.4004
Repetindo até , achamos

Passo 4

Método de Runge–Kutta 4ª ordem ( k1&=f(xn,yn), k2&=fl(xn+tfrac h2,,yn+tfrac h2 k1r), k3&=fl(xn+tfrac h2,,yn+tfrac h2 k2r), k4&=f(xn+h,,yn+h,k3), yn+1&=yn+ h6l(k1+2k2+2k3+k4r) ):
y(3)approx0.4105
Começando em e fazendo 4 iterações (até ), calculamos cada e atualizamos .
No fim, obtemos

Resposta

a) Pelo método de Euler com , .
b) Pelo método de Runge–Kutta 4ª ordem com , .

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