Dado o problema de valor inicial (PVI):
a) Calcule
utilizando o método de Euler com
;
b) Calcule
utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com
;
b) Calcule
Passo 1
Beleza, temos um problema de valor inicial (PVI):
É um EDO linear, mas em vez de resolver exatamente, vamos aproximar
por dois métodos numéricos:
a) Método de Euler com passo (10 iterações de 2 até 3).
b) Método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo (4 iterações).
O que precisamos:
a) Método de Euler com passo
b) Método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo
O que precisamos:
- Expressar a derivada como
. - Saber as fórmulas de iteração de Euler e de RK4.
- Calcular passo a passo (vou mostrar a ideia e alguns valores, depois apresento o valor final).
Passo 2
Antes de tudo, isolamos
. Da equação
, vem
Tudo que a gente precisa é avaliar
a cada iteração.
Passo 3
Método de Euler (passo
):
Começamos em
.
Exemplo das duas primeiras iterações:
Exemplo das duas primeiras iterações:
Repetindo até
, achamos
Passo 4
Método de Runge–Kutta 4ª ordem (
):
Começando em
e fazendo 4 iterações (até
), calculamos cada
e atualizamos
.
No fim, obtemos
No fim, obtemos
Resposta
a) Pelo método de Euler com
,
.
b) Pelo método de Runge–Kutta 4ª ordem com ,
.
b) Pelo método de Runge–Kutta 4ª ordem com