1. Demostre que para qualquer função f(x) e quaisquer x_{0}, x_{1}, e x_{2} diferentes, as diferenças divididas da segunda ordem satisfazem
f\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right]=f\left[x_{2}, x_{1}, x_{0}\right]
Recomendação: provar primeiro que f\left[x_{0}, x_{1}\right]=f\left[x_{1}, x_{0}\right] para quaisquer x_{0} \neq x_{1}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para qualquer função f e quaisquer pontos distintos x_{0},x_{1},x_{2}, vale
f\left[x_{0},x_{1},x_{2}\right]=f\left[x_{2},x_{1},x_{0}\right].
Informações dadas relevantes:
  • f é qualquer função (não precisamos de hipóteses de diferenciabilidade para esta identidade).
  • x_{0},x_{1},x_{2} são três números distintos (ou seja, x_i \neq x_j para i\neq j).
  • Recomenda-se provar primeiro que f\left[x_{0},x_{1}\right]=f\left[x_{1},x_{0}\right].

Passo 2

Definição e prova da simetria de primeira ordem (recomendação).
Definimos a diferença dividida de primeira ordem por
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i},
sempre com x_i\neq x_j. Agora veja:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.
Trocando os papéis de x_0 e x_1 obtemos
f[x_1,x_0]=\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}.
Note que o numerador de f[x_1,x_0] é -(f(x_1)-f(x_0)) e o denominador é -(x_1-x_0). Como dividir por -1 no numerador e por -1 no denominador cancela, concluímos
f[x_1,x_0]=\frac{-(f(x_1)-f(x_0))}{-(x_1-x_0)}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f[x_0,x_1].
Portanto, a diferença dividida de primeira ordem é simétrica: f[x_0,x_1]=f[x_1,x_0]. (Respira — isso é só manipulação algébrica de sinal.)

Passo 3

Definição da diferença dividida de segunda ordem e escrita das duas expressões que queremos comparar.
A diferença dividida de segunda ordem é definida por
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Analogamente, trocando a ordem dos pontos (colocando x_2 no começo e x_0 no fim),
f[x_2,x_1,x_0]=\frac{f[x_1,x_0]-f[x_2,x_1]}{x_0-x_2}.
Nosso objetivo é provar que essas duas expressões são iguais.

Passo 4

Usando a simetria da primeira ordem para simplificar os termos.
Pelo resultado do Passo 2 sabemos que f[x_1,x_0]=f[x_0,x_1] e f[x_2,x_1]=f[x_1,x_2]. Substituímos essas identidades em f[x_2,x_1,x_0]:
f[x_2,x_1,x_0]=\frac{f[x_1,x_0]-f[x_2,x_1]}{x_0-x_2} =\frac{f[x_0,x_1]-f[x_1,x_2]}{x_0-x_2}.

Passo 5

Manipulação algébrica final mostrando igualdade.
Observe que a expressão anterior tem o numerador trocado de sinais em relação a f[x_0,x_1,x_2]. Escrevemos
f[x_2,x_1,x_0]=\frac{-(f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1])}{x_0-x_2}.
Agora, o denominador x_0-x_2 é também o negativo de x_2-x_0, ou seja x_0-x_2=-(x_2-x_0). Substituindo isso,
f[x_2,x_1,x_0]=\frac{-(f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1])}{-(x_2-x_0)} =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Mas a última expressão é exatamente a definição de f[x_0,x_1,x_2]. Portanto
f[x_2,x_1,x_0]=f[x_0,x_1,x_2].

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (pra te animar): o que aconteceu foi que tanto o numerador quanto o denominador mudaram de sinal ao inverter a ordem dos extremos, e esses sinais se anularam. Esse tipo de simetria aparece porque as diferenças divididas são construídas por quocientes de diferenças — trocar a ordem inverte sinais que se cancelam.

Resposta

f[x_0,x_1,x_2]=f[x_2,x_1,x_0]

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