- Demostre que para qualquer função
e quaisquer
, e
diferentes, as diferenças divididas da segunda ordem satisfazem
Recomendação: provar primeiro que
para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, para qualquer função
e quaisquer pontos distintos
, vale
Informações dadas relevantes:
-
é qualquer função (não precisamos de hipóteses de diferenciabilidade para esta identidade). -
são três números distintos (ou seja, para ). - Recomenda-se provar primeiro que
.
Passo 2
Definição e prova da simetria de primeira ordem (recomendação).
Definimos a diferença dividida de primeira ordem por
Definimos a diferença dividida de primeira ordem por
sempre com
. Agora veja:
Trocando os papéis de
e
obtemos
Note que o numerador de
é
e o denominador é
. Como dividir por
no numerador e por
no denominador cancela, concluímos
Portanto, a diferença dividida de primeira ordem é simétrica:
. (Respira — isso é só manipulação algébrica de sinal.)
Passo 3
Definição da diferença dividida de segunda ordem e escrita das duas expressões que queremos comparar.
A diferença dividida de segunda ordem é definida por
A diferença dividida de segunda ordem é definida por
Analogamente, trocando a ordem dos pontos (colocando
no começo e
no fim),
Nosso objetivo é provar que essas duas expressões são iguais.
Passo 4
Usando a simetria da primeira ordem para simplificar os termos.
Pelo resultado do Passo 2 sabemos que e
. Substituímos essas identidades em
:
Pelo resultado do Passo 2 sabemos que
Passo 5
Manipulação algébrica final mostrando igualdade.
Observe que a expressão anterior tem o numerador trocado de sinais em relação a . Escrevemos
Observe que a expressão anterior tem o numerador trocado de sinais em relação a
Agora, o denominador
é também o negativo de
, ou seja
. Substituindo isso,
Mas a última expressão é exatamente a definição de
. Portanto
Passo 6
Comentário pedagógico rápido (pra te animar): o que aconteceu foi que tanto o numerador quanto o denominador mudaram de sinal ao inverter a ordem dos extremos, e esses sinais se anularam. Esse tipo de simetria aparece porque as diferenças divididas são construídas por quocientes de diferenças — trocar a ordem inverte sinais que se cancelam.