Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty senx x d xx^2+4 x+5.

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é uma integral imprópria
Esse é um problema de Análise Complexa: vamos usar a fórmula de Euler e o Teorema dos Resíduos para avaliar
I ;=;integral-infty^inftyx,sen xx^2+4x+5,dx
depois pegamos a parte imaginária pra voltar à nossa integral com .
O que precisamos:
  1. Saber que .
  2. Entender como fechar um contorno no semiplano superior (pra usar integral-infty^infty x,e^ixx^2+4x+5,dx, e garantir que a integral no arco some).
  3. Calcular o polo da função e seu resíduo.
  4. Aplicar o Teorema dos Resíduos e extrair a parte imaginária.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
J ;=;integral-infty^inftyx,e^ixx^2+4x+5,dx
Como , vale
Agora vamos calcular I=integral-infty^inftyx,sen xx^2+4x+5,dx ;=;Im(J) por contorno.

Passo 3

Note que f(z)=z,e^iz(z+2)^2+1 . No plano complexo, a função
z+2=pm i;Longrightarrow;z1=-2+i, z2=-2-i
tem polos onde , isto é
No semiplano superior só interessa , porque usaremos um contorno fechando acima (lá decai quando ).

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
J = 2pi i;l(Resíduo de f em z1r) í
Para calcular o resíduo de Res(f,z1) =limzto z1(z-z1)z,e^iz(z+2)^2+1 =z1,e^iz12(z1+2), em Res(f,z1) =(-2+i),e^i(-2+i)2,i =(-2+i),e^-1e^-2i2i , usamos
porque . E como , temos

Passo 5

Logo
J =2pi i;(-2+i),e^-1e^-2i2i =pi,(-2+i),e^-1e^-2i
Escrevendo e multiplicando:
Então

Passo 6

Nosso I=Im(J) =pi e^-1l(2sen2+cos2r) é a parte imaginária de , logo

Resposta

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