Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é uma integral imprópria
Esse é um problema de Análise Complexa: vamos usar a fórmula de Euler e o Teorema dos Resíduos para avaliar
depois pegamos a parte imaginária pra voltar à nossa integral com .
O que precisamos:
- Saber que .
- Entender como fechar um contorno no semiplano superior (pra usar
e garantir que a integral no arco some). - Calcular o polo da função
e seu resíduo. - Aplicar o Teorema dos Resíduos e extrair a parte imaginária.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
Como , vale
Agora vamos calcular
por contorno.
Passo 3
Note que
. No plano complexo, a função
tem polos onde
, isto é
No semiplano superior só interessa
, porque usaremos um contorno fechando acima (lá
decai quando
).
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos,
Para calcular o resíduo de
em
, usamos
porque
. E como
, temos
Passo 5
Logo
Escrevendo e multiplicando:
Então
Passo 6
Nosso
é a parte imaginária de
, logo