Calcule o determinante e, se possível, encontre a matriz inversa utilizando o método de decomposição LU:
a) \left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 4 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 4 & 2\end{pmatrix}
Calcular o determinante de A.
Se possível, encontrar A^{-1} usando o método de decomposição LU.
Informações dadas:
A matriz A é 2\times2 com entradas a_{11}=3, a_{12}=-1, a_{21}=4, a_{22}=2.
Deve-se usar decomposição LU (ou seja, escrever A=LU com L triangular inferior e U triangular superior), e a partir daí obter determinante e inversa.]
Passo 2
Breve explicação do método LU (passo-a-passo):
A decomposição LU que vou usar é a forma de Doolittle: L tem 1 na diagonal principal e U contém os pivôs na diagonal. Ou seja,
(Observação útil para checar: multiplicando A por esta matriz deve sair a identidade. Também dá para fatorar A^{-1}=\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}.)]