Calcule o determinante e, se possível, encontre a matriz inversa utilizando o método de decomposição LU:
a) \left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 4 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 4 & 2\end{pmatrix}
  1. Calcular o determinante de A.
  2. Se possível, encontrar A^{-1} usando o método de decomposição LU.
Informações dadas:
  • A matriz A é 2\times2 com entradas a_{11}=3, a_{12}=-1, a_{21}=4, a_{22}=2.
  • Deve-se usar decomposição LU (ou seja, escrever A=LU com L triangular inferior e U triangular superior), e a partir daí obter determinante e inversa.]

Passo 2

Breve explicação do método LU (passo-a-passo):
  • A decomposição LU que vou usar é a forma de Doolittle: L tem 1 na diagonal principal e U contém os pivôs na diagonal. Ou seja,
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix}.
  • A condição A=LU implica equações para os elementos:
u_{11}=a_{11},\qquad u_{12}=a_{12},
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}, \qquad u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}.
Vou aplicar essas fórmulas diretamente ao caso numérico.]

Passo 3

Calcular U e L aplicando as fórmulas acima:
  • Primeiro pivô:
u_{11}=a_{11}=3.
  • Entrada u_{12}:
u_{12}=a_{12}=-1.
  • Multiplicador \ell_{21}:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{4}{3}.
  • Finalmente u_{22}:
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=2-\frac{4}{3}\cdot(-1)=2+\frac{4}{3}=\frac{10}{3}.
Portanto
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\dfrac{4}{3} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}3 & -1\\[6pt]0 & \dfrac{10}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Explicação de como obter o determinante por LU (fórmula e porquê):
  • Para matrizes triangulares, o determinante é o produto das entradas da diagonal.
  • Como A=LU, vale \det(A)=\det(L)\det(U).
  • No caso de Doolittle, \det(L)=1 porque L tem 1s na diagonal. Assim \det(A)=\det(U).
  • Calculo:
\det(U)=u_{11}\cdot u_{22}=3\cdot\frac{10}{3}=10.
Confirmação direta (opcional, porém ilustrativa): para 2\times2,
\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=3\cdot 2 - (-1)\cdot 4 =6+4=10,
mesmo resultado.

Passo 5

Como encontrar A^{-1} usando LU (estratégia):
  • Para encontrar A^{-1} é suficiente resolver A X = I, onde as colunas de X são as soluções de A x^{(j)}=e^{(j)} ( e^{(j)} são vetores canônicos).
  • Com A=LU fazemos em duas etapas para cada coluna:
    1. resolver L y = e^{(j)} (substituição direta para triangular inferior),
    2. resolver U x^{(j)} = y (retro-substituição para triangular superior).
      Vou aplicar isso para j=1,2 (duas colunas, pois A é 2\times2).

Passo 6

Resolver para a primeira coluna da inversa (direcionador e^{(1)}=(1,0)^T):
  1. Resolver L y^{(1)}=e^{(1)}. Escrevendo componentes:
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\dfrac{4}{3} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Equações:
y_1=1, \qquad \frac{4}{3}y_1 + y_2 = 0 \;\Rightarrow\; y_2 = -\frac{4}{3}.
Logo y^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{4}{3}\end{pmatrix}.
  1. Resolver U x^{(1)}=y^{(1)}:
\begin{pmatrix}3 & -1\\[6pt]0 & \dfrac{10}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{11}\\[4pt]x_{21}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{4}{3}\end{pmatrix}.
Retro-substituição:
  • Segunda equação: \dfrac{10}{3}x_{21}=-\dfrac{4}{3} então
x_{21}=\frac{-\tfrac{4}{3}}{\tfrac{10}{3}}=\frac{-4}{10}=-\frac{2}{5}.
  • Primeira equação: 3x_{11}-x_{21}=1 então
3x_{11}-\left(-\frac{2}{5}\right)=1 \;\Rightarrow\; 3x_{11}+\frac{2}{5}=1 \;\Rightarrow\; 3x_{11}=\frac{3}{5}\;\Rightarrow\; x_{11}=\frac{1}{5}.
Assim a primeira coluna de A^{-1} é \begin{pmatrix}\tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{2}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver para a segunda coluna da inversa (direcionador e^{(2)}=(0,1)^T):
  1. Resolver L y^{(2)}=e^{(2)}:
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\dfrac{4}{3} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Equações:
y_1=0, \qquad \frac{4}{3}y_1 + y_2 = 1 \;\Rightarrow\; y_2 = 1.
Logo y^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  1. Resolver U x^{(2)}=y^{(2)}:
\begin{pmatrix}3 & -1\\[6pt]0 & \dfrac{10}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{12}\\[4pt]x_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Retro-substituição:
  • Segunda equação: \dfrac{10}{3}x_{22}=1 então
x_{22}=\frac{1}{\tfrac{10}{3}}=\frac{3}{10}.
  • Primeira equação: 3x_{12}-x_{22}=0 então
3x_{12}-\frac{3}{10}=0 \;\Rightarrow\; 3x_{12}=\frac{3}{10}\;\Rightarrow\; x_{12}=\frac{1}{10}.
Assim a segunda coluna de A^{-1} é \begin{pmatrix}\tfrac{1}{10}\\[4pt]\tfrac{3}{10}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Juntando as colunas obtidas, a inversa é
A^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{10}\\[6pt] -\dfrac{2}{5} & \dfrac{3}{10} \end{pmatrix}.
(Observação útil para checar: multiplicando A por esta matriz deve sair a identidade. Também dá para fatorar A^{-1}=\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}.)]

Resposta

\det(A)=10
A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{10}\\[6pt]-\dfrac{2}{5} & \dfrac{3}{10}\end{pmatrix}]

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