Calcule a estimativa para o número de iterações no método da bissecção nos seguintes casos:
I=[2,4], varepsilon=10^-2

Passo 1

O enunciado quer a estimativa do número de iterações do método da bissecção para o intervalo inicial I=[2,4] com tolerância varepsilon=10^-2. Esse exercício pertence ao estudo da convergência do método da bissecção, e vamos usar a relação entre o erro máximo e o comprimento do intervalo para determinar quantas iterações são necessárias.

Passo 2

No método da bissecção, depois de n iterações o comprimento do intervalo onde a raiz está é
b0 - a02^n
e esse valor também dá um limite para o erro da aproximação. Para garantir que o erro seja no máximo varepsilon, exigimos:
b0 - a02^n <= varepsilon

Passo 3

Substituindo os valores iniciais b0 - a0 = 4 - 2 = 2 e varepsilon = 10^-2, a desigualdade vira:
22^n <= 10^-2
Isso implica
2^n >= 210^-2 = 200

Passo 4

Para extrair n, aplicamos logaritmo na base 2:
n >= log2(200)
Numericamente,
log2(200) = log10(200)log10(2) approx 2,30100,3010 approx 7,64
Como n deve ser inteiro e satisfazer a desigualdade, tomamos o teto: n = 8.

Resposta

8 iterações

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