Verifique condições de convergência e resolva pelo método de Gauss-Jacobi com varepsilon<10^-2
x1+0.25 x2-0.05 x3 & =1.2 0.1 x1+1 x2-0.1 x3 & =2.9 -0.2 x2+x3 & =1.6

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear pelo método de Gauss–Jacobi com precisão $\varepsilon<10^{-2}$, além de verificar a condição de convergência. O conteúdo envolvido é método iterativo para sistemas lineares e critério de dominância diagonal; vamos precisar reescrever as equações na forma iterativa de Jacobi e calcular iterações até que a diferença entre aproximações sucessivas seja menor que $10^{-2}$.

Passo 2

Verificamos se a matriz de coeficientes é estritamente diagonal dominante. A matriz é
A=1 & 0.25 & -0.05 0.1 & 1 & -0.1 0 & -0.2 & 1
Para cada linha i checamos se $|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|$:
  • Linha 1: $|1|>0.25+0.05=0.30$ ✓
  • Linha 2: $|1|>0.1+0.1=0.20$ ✓
  • Linha 3: $|1|>0.2+0=0.20$ ✓
    Como todas satisfazem, o método de Jacobi converge.

Passo 3

Do sistema original isolamos cada variável para obter as fórmulas de iteração de Jacobi:
x1 = 1.2 - 0.25 cdot x2 + 0.05 cdot x3
x2 = 2.9 - 0.1 cdot x1 + 0.1 cdot x3
x3 = 1.6 + 0.2 cdot x2
Escolhemos o chute inicial $\mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)$ e calculamos as primeiras três iterações:
x^(0)=(0,0,0)
x^(1)=(1.2,;2.9,;1.6)
x^(2)=(0.555,;2.94,;2.18)
Verificamos o erro entre iterações: $||\mathbf{x}{(2)}-\mathbf{x}{(1)}||\infty≈0.645>10^{-2}$ e $||\mathbf{x}{(3)}-\mathbf{x}{(2)}||\infty≈0.1225>10^{-2}$, ainda não convergiu.

Passo 4

Calculamos a 4ª e 5ª iterações e checamos o critério de parada:
x^(4)=(0.543775,;3.0614,;2.2125)
x^(5)=(0.545275,;3.0668725,;2.21228)
O erro máximo é
|x^(5)-x^(4)|infty=0.00547<10^-2,
logo atingimos a precisão requerida e podemos parar.

Resposta

A aproximação pelo método de Gauss–Jacobi com varepsilon<10^-2 é $(0.5453,;3.0669,;2.2123)$.

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