Seja o sistema de ponto flutuante F\left(b, n, e_{1}, e_{2}\right).
a) Qual o menor número, em módulo, diferente de zero que pode ser representado nesse sistema?
b) E o maior?
c) Qual o número de mantissas positivas? Resp.: M=(b-1) b^{n-1}
d) Mostre que o número de números de pontos flutuantes possíveis é dado por
\# F=2(b-1) b^{n-1}\left(e_{2}-e_{1}+1\right)+1

Passo 1

O enunciado trata do sistema de ponto flutuante F(b,n,e_{1},e_{2}), cuja representação normalizada é
x = \pm\bigl(d_{1}.d_{2}\ldots d_{n}\bigr)_{b}\times b^{e},
com \;1\le d_{1}\le b-1,\;0\le d_{i}\le b-1\;(i\ge2),\;e_{1}\le e\le e_{2}.
Precisamos encontrar:
a) o menor número em módulo distinto de zero;
b) o maior número;
c) o número de mantissas positivas M;
d) mostrar a fórmula do total de pontos flutuantes \#F.

Passo 2

Para achar o menor módulo não nulo escolhemos a mantissa mínima e o menor expoente. A mantissa mínima normalizada é
(1.0\ldots0)_{b}
e o menor expoente é e_{1}. Logo o menor número positivo (e em módulo) é
x_{\min}=(1.0\ldots0)_{b}\times b^{e_{1}} =b^{e_{1}}.

Passo 3

Para o maior número, tomamos a mantissa máxima e o maior expoente. A mantissa máxima é
((b-1).(b-1)\ldots(b-1))_{b} =\sum_{i=0}^{n-1}(b-1)\,b^{-i} =b-\;b^{1-n},
e o maior expoente é e_{2}. Assim
x_{\max}=\bigl(b - b^{1-n}\bigr)\,b^{e_{2}}.

Passo 4

O número de mantissas positivas normalizadas vem de fixar d_{1} em \{1,\dots,b-1\} e cada d_{2},\dots,d_{n} em \{0,\dots,b-1\}. Logo
M=(b-1)\,b^{n-1}.

Passo 5

Cada mantissa pode emparelhar com qualquer expoente de e_{1} a e_{2}, dando M\,(e_{2}-e_{1}+1) números positivos. Há igualmente M\,(e_{2}-e_{1}+1) negativos, mais o zero (único, sem sinal nem expoente). Portanto
\#F =2\,M\,(e_{2}-e_{1}+1)+1 =2(b-1)b^{n-1}\bigl(e_{2}-e_{1}+1\bigr)+1.

Resposta

a) x_{\min}=b^{e_{1}}
b) x_{\max}=(b - b^{1-n})\,b^{e_{2}}
c) M=(b-1)\,b^{n-1}
d) \#F=2(b-1)b^{n-1}(e_{2}-e_{1}+1)+1

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