Determine a Série de Taylor da funçăo \mathbf{f ( x ) = s e n ( x ) \cdot \mathbf { e } ^ { \wedge } - \mathbf { 2 x } + \mathbf { x } - \mathbf { 1 }} com 4 termos, expandido-a em torno do ponto x_{0}=0. Em seguida calcule o erro percentual \varepsilon_{p}(\%) nas abscissas apresentadas na tabela abaixo:
x(\mathrm{rad}) f(x) F(x) \varepsilon_{p}(\%)
0
\pi / 16
\pi / 8

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
f(x)=\sin(x)\,e^{-2x}+x-1
em torno de x_{0}=0, retendo quatro termos (até o grau 3), e em seguida calcular o erro percentual
\varepsilon_{p}(\%)=\frac{\bigl|f(x)-F(x)\bigr|}{\bigl|f(x)\bigr|}\times100\%
para x=0, x=\pi/16 e x=\pi/8, onde F(x) é o polinômio de Taylor obtido.

Passo 2

Vamos calcular f(0), f'(0), f''(0) e f'''(0). Definindo
g(x)=\sin(x)e^{-2x},
temos g(0)=0, logo
f(0)=g(0)+0-1=-1.
Derivando
g'(x)=e^{-2x}\bigl(\cos x-2\sin x\bigr),
g''(x)=e^{-2x}\bigl(-4\cos x+3\sin x\bigr),
g'''(x)=e^{-2x}\bigl(11\cos x-2\sin x\bigr).
Assim,
f'(0)=g'(0)+1=1+1=2,
f''(0)=g''(0)=-4,
f'''(0)=g'''(0)=11.

Passo 3

O polinômio de Taylor de grau 3 em torno de 0 é
F(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3 =-1+2x-2x^2+\frac{11}{6}x^3.

Passo 4

Para x=0:
f(0)=-1,\quad F(0)=-1,
\varepsilon_{p}=\frac{\bigl|-1-(-1)\bigr|}{\lvert-1\rvert}\times100\%=0\%.

Passo 5

Para x=\pi/16\approx0,19635:
f\bigl(\pi/16\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr)e^{-2\,\pi/16}+\tfrac{\pi}{16}-1\approx-0,67184,
F\bigl(\pi/16\bigr)=-1+2\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr)-2\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr)^{2}+\tfrac{11}{6}\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr)^{3}\approx-0,67058,
\varepsilon_{p}\approx\frac{|{-0,67184}-(-0,67058)|}{0,67184}\times100\%\approx0,19\%.

Passo 6

Para x=\pi/8\approx0,39270:
f\bigl(\pi/8\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)e^{-2\,\pi/8}+\tfrac{\pi}{8}-1\approx-0,43269,
F\bigl(\pi/8\bigr)=-1+2\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)-2\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)^{2}+\tfrac{11}{6}\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)^{3}\approx-0,41199,
\varepsilon_{p}\approx\frac{|{-0,43269}-(-0,41199)|}{0,43269}\times100\%\approx4,79\%.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 (quatro termos) em torno de 0 é
F(x)=-1+2x-2x^2+\frac{11}{6}x^3.
Abaixo, a tabela com f(x), F(x) e \varepsilon_{p}(\%):
x (rad) f(x) F(x) \varepsilon_{p}(\%)
0 -1 -1 0\%
\pi/16 -0,67184 -0,67058 0,19\%
\pi/8 -0,43269 -0,41199 4,79\%

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