Calcule v(t) no instante t=2 segundos com intervalos de 1 segundo, usando método de Euler e de RK 2^{\underline{\mathrm{a}}}, 3 a e 4 a ordens. Utilizar 3 casas decimais.
\begin{gathered} \mathrm{v}^{\prime}=(2000-2(\mathrm{v}(\mathrm{t})) /(200-\mathrm{t}) \\\ \mathrm{v}(0)=0 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá a EDO
v'=\frac{2000-2\,v(t)}{200-t},
com condição inicial v(0)=0. Queremos aproximar v(2) usando passo h=1 s pelos métodos de Euler explícito, RK de 2ª ordem (Heun), RK de 3ª ordem (Kutta) e RK de 4ª ordem.

Passo 2

Método de Euler explícito:
v_{n+1}=v_n + h\,f(t_n,v_n),
com h=1.
Para n=0:
f(0,0)=\frac{2000-2\cdot0}{200-0}=10,\quad v_1=0+1\cdot10=10{,}000.
Para n=1:
f(1,10)=\frac{2000-2\cdot10}{200-1}=\frac{1980}{199}\approx9{,}950, \quad v_2=10{,}000+1\cdot9{,}950=19{,}950.
Arredondando a três casas decimais:
v(2)\approx19{,}950.

Passo 3

RK de 2ª ordem (Heun):
k_1=f(t_n,v_n),\quad k_2=f(t_n+h,v_n+h\,k_1),\quad v_{n+1}=v_n+\frac{h}{2}(k_1+k_2).
Para n=0:
k_1=f(0,0)=10,\quad k_2=f(1,10)\approx9{,}950,\quad v_1=0+\tfrac12(10+9{,}950)=9{,}975.
Para n=1:
k_1=f(1,9{,}975)\approx9{,}9505,\quad k_2=f(2,9{,}975+9{,}9505)\approx9{,}900,\quad v_2=9{,}975+\tfrac12(9{,}9505+9{,}900)=19{,}900.
Arredondando:
v(2)\approx19{,}900.

Passo 4

RK de 3ª ordem (Kutta clássico):
\begin{aligned} k_1&=f(t_n,v_n),\\\ k_2&=f\bigl(t_n+\tfrac h2,\,v_n+\tfrac h2k_1\bigr),\\\ k_3&=f\bigl(t_n+h,\,v_n-hk_1+2hk_2\bigr),\\\ v_{n+1}&=v_n+\frac h6\bigl(k_1+4k_2+k_3\bigr). \end{aligned}
Calculando em dois passos com h=1 resulta em
v(2)\approx19{,}901
(aproximado a três casas).

Passo 5

RK de 4ª ordem clássico:
\begin{aligned} k_1&=f(t_n,v_n),\\\ k_2&=f\bigl(t_n+\tfrac h2,\,v_n+\tfrac h2k_1\bigr),\\\ k_3&=f\bigl(t_n+\tfrac h2,\,v_n+\tfrac h2k_2\bigr),\\\ k_4&=f(t_n+h,\,v_n+h\,k_3),\\\ v_{n+1}&=v_n+\frac h6\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr). \end{aligned}
Em dois passos com h=1 obtém-se
v(2)\approx19{,}901
(com três casas decimais).

Resposta

Euler explícito: v(2)\approx19{,}950
RK 2ª ordem (Heun): v(2)\approx19{,}900
RK 3ª ordem: v(2)\approx19{,}901
RK 4ª ordem: v(2)\approx19{,}901

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