Questão 2 (2,0 pontos) Dada a funçāo f(x)=\ln x.
a) Construa uma aproximaçāo polinomial usando os pontos x_{0}=1, x_{1}=1,1, x_{2}=1.3 e x_{3}=1.4;
b) Encontre o limitante superior para o erro de interpolação em x=1.2.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função \ln x por um polinômio de grau 3 usando os nós
x_{0}=1,\quad x_{1}=1,1,\quad x_{2}=1,3,\quad x_{3}=1,4
e depois estimar, em x=1,2, o limitante superior do erro de interpolação.
Conteúdo: interpolação de Newton (diferenças divididas) e fórmula de erro
f(x)-P_{3}(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).

Passo 2

Calcular valores e diferenças divididas:
\begin{aligned} f[x_{0}]&=f(1)=\ln(1)=0,\\\ f[x_{1}]&=\ln(1,1),\quad f[x_{2}]=\ln(1,3),\quad f[x_{3}]=\ln(1,4), \end{aligned}
\begin{aligned} f[x_{0},x_{1}]&=\frac{\ln(1,1)-0}{1,1-1}=\frac{\ln(1,1)}{0,1}\approx0,9531,\\\ f[x_{1},x_{2}]&=\frac{\ln(1,3)-\ln(1,1)}{1,3-1,1}\approx\frac{0,2624-0,0953}{0,2}\approx0,8336,\\\ f[x_{2},x_{3}]&=\frac{\ln(1,4)-\ln(1,3)}{1,4-1,3}\approx\frac{0,3365-0,2624}{0,1}\approx0,7411, \end{aligned}
\begin{aligned} f[x_{0},x_{1},x_{2}]&=\frac{0,8336-0,9531}{1,3-1}=\frac{-0,1195}{0,3}\approx-0,3983,\\\ f[x_{1},x_{2},x_{3}]&=\frac{0,7411-0,8336}{1,4-1,1}=\frac{-0,0925}{0,3}\approx-0,3083, \end{aligned}
f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}] =\frac{-0,3083-(-0,3983)}{1,4-1} =\frac{0,0900}{0,4}\approx0,2250.

Passo 3

Montar o polinômio de Newton de grau 3:
\begin{aligned} P_{3}(x)&=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}](x-1)+f[x_{0},x_{1},x_{2}](x-1)(x-1,1)\\\ &\quad+f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}](x-1)(x-1,1)(x-1,3)\\\ &=0+0,9531\,(x-1)-0,3983\,(x-1)(x-1,1)\\\ &\quad+0,2250\,(x-1)(x-1,1)(x-1,3). \end{aligned}

Passo 4

Para o erro usamos
f^{(4)}(x)=\frac{d^{4}}{dx^{4}}\ln x =\,-6\,x^{-4},
logo em [1,1,4] temos
\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|\le\frac{6}{1^{4}}=6.
Assim
\bigl|f(x)-P_{3}(x)\bigr|\le\frac{6}{4!}\bigl|(x-1)(x-1,1)(x-1,3)(x-1,4)\bigr| =\frac{6}{24}\bigl|\cdots\bigr| =0,25\bigl|\cdots\bigr|.

Passo 5

Em x=1,2:
(x-1)(x-1,1)(x-1,3)(x-1,4) =(0,2)(0,1)(-0,1)(-0,2)=0,0004,
então
\bigl|f(1,2)-P_{3}(1,2)\bigr|\le0,25\times0,0004=0,0001.

Resposta

(a)
P_{3}(x)=0,9531\,(x-1)-0,3983\,(x-1)(x-1,1)+0,2250\,(x-1)(x-1,1)(x-1,3).
(b)
O limite superior do erro em x=1,2 é 0,0001.

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