Exercício 5: Seja a equação
.
a) Isole as raízes da equação
b) Determine a maior raiz da equação utilizando o método da Newton-Raphson com precisão menor ou igual 0,001 .
a) Isole as raízes da equação
b) Determine a maior raiz da equação utilizando o método da Newton-Raphson com precisão menor ou igual 0,001 .
Passo 1
O enunciado pede, para a equação
(a) isolar seus zeros reais em intervalos, e (b) aproximar a maior raiz real pelo método de Newton–Raphson com erro
. Vamos usar o Teorema de Bolzano para isolar raízes e depois aplicar iterativamente
Passo 2
Para isolar as raízes reais, avaliamos o sinal de
em pontos inteiros:
Assim, há mudança de sinal em cada um desses intervalos, mostrando quatro raízes reais:
Passo 3
Calculamos a derivada
e montamos a fórmula de Newton–Raphson:
Passo 4
Para a maior raiz, escolhemos
(no intervalo
).
Iteração 1:
Iteração 1:
Iteração 2:
Passo 5
Continuando até
:
Iteração 3:
Iteração 3:
Iteração 4:
Resposta
As raízes reais estão isoladas em
,
,
e
.
A maior raiz, por Newton–Raphson com precisão , é aproximadamente
A maior raiz, por Newton–Raphson com precisão