Exercício 5: Seja a equação f(x)=x^{4}-2 x^{3}-6 x^{2}+2=0.
a) Isole as raízes da equação f(x)=0
b) Determine a maior raiz da equação utilizando o método da Newton-Raphson com precisão menor ou igual 0,001 .

Passo 1

O enunciado pede, para a equação
f(x)=x^{4}-2\,x^{3}-6\,x^{2}+2=0,
(a) isolar seus zeros reais em intervalos, e (b) aproximar a maior raiz real pelo método de Newton–Raphson com erro \le0,001. Vamos usar o Teorema de Bolzano para isolar raízes e depois aplicar iterativamente
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 2

Para isolar as raízes reais, avaliamos o sinal de f(x) em pontos inteiros:
\begin{aligned} f(-3)&=81+54-54+2=83>0,\\\ f(-2)&=16+16-24+2=10>0,\\\ f(-1)&=1+2-6+2=-1<0,\\\ f(0)&=2>0,\\\ f(1)&=1-2-6+2=-5<0,\\\ f(2)&=16-16-24+2=-22<0,\\\ f(3)&=81-54-54+2=-25<0,\\\ f(4)&=256-128-96+2=34>0. \end{aligned}
Assim, há mudança de sinal em cada um desses intervalos, mostrando quatro raízes reais:
(-2,\,-1),\quad(-1,\,0),\quad(0,\,1),\quad(3,\,4).

Passo 3

Calculamos a derivada
f'(x)=4\,x^{3}-6\,x^{2}-12\,x
e montamos a fórmula de Newton–Raphson:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{4}-2x_{n}^{3}-6x_{n}^{2}+2}{4x_{n}^{3}-6x_{n}^{2}-12x_{n}}.

Passo 4

Para a maior raiz, escolhemos x_{0}=4 (no intervalo (3,4)).
Iteração 1:
x_{1}=4-\frac{f(4)}{f'(4)} =4-\frac{34}{112}\approx3,69643.
Iteração 2:
x_{2}=3,69643-\frac{f(3,69643)}{f'(3,69643)} \approx3,62261.

Passo 5

Continuando até \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert\le0,001:
Iteração 3:
x_{3}\approx3,61586,
Iteração 4:
x_{4}\approx3,61594, \quad \lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx0,00007<0,001.

Resposta

As raízes reais estão isoladas em (-2,-1), (-1,0), (0,1) e (3,4).
A maior raiz, por Newton–Raphson com precisão \le0,001, é aproximadamente
x\approx3,616.

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