Calcule \int_{0}^{4} e^{x} d x aplicando as regras de Trapézios e Simpson, considerando 3 casas decimais e \mathrm{h}=1 e \mathrm{h}=0,5.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{4} e^{x}\,dx
pelos métodos do trapézio e de Simpson, usando tamanho de passo \,h=1 (quatro subintervalos) e \,h=0{,}5 (oito subintervalos). Vamos precisar da fórmula do trapézio
T_n = \frac{h}{2}\Bigl[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Bigr]
e da fórmula de Simpson (com n par)
S_n = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4\sum_{\substack{i=1\i\,\text{ímpar}}}^{n-1}f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\i\,\text{par}}}^{n-2}f(x_i)+f(x_n)\Bigr].

Passo 2

Calculemos primeiro os valores de f(x)=e^x nos nós para h=1:
\,x_0=0,\;x_1=1,\;x_2=2,\;x_3=3,\;x_4=4.
f(0)=e^0=1,\quad f(1)=e\approx2{,}71828,\quad f(2)=e^2\approx7{,}38906,
f(3)=e^3\approx20{,}08554,\quad f(4)=e^4\approx54{,}59815.

Passo 3

Aplicando o método do trapézio com h=1 e n=4:
T_4 = \frac{1}{2}\Bigl[f(0)+2\bigl(f(1)+f(2)+f(3)\bigr)+f(4)\Bigr] = \tfrac{1}{2}\bigl[1+2(2{,}71828+7{,}38906+20{,}08554)+54{,}59815\bigr].
Somando dentro do colchete:
1+2\cdot30{,}19288+54{,}59815=1+60{,}38576+54{,}59815=115{,}98391,
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T_4\approx\frac{115{,}98391}{2}=57{,}99195\approx57{,}991.

Passo 4

Aplicando Simpson com h=1 e n=4:
S_4 = \frac{1}{3}\Bigl[f(0)+4\bigl(f(1)+f(3)\bigr)+2f(2)+f(4)\Bigr] = \tfrac{1}{3}\bigl[1+4(2{,}71828+20{,}08554)+2\cdot7{,}38906+54{,}59815\bigr].
Dentro do colchete:
1+4\cdot22{,}80382+14{,}77812+54{,}59815 =1+91{,}21528+14{,}77812+54{,}59815 =161{,}59155,
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S_4\approx\frac{161{,}59155}{3}=53{,}86385\approx53{,}863.

Passo 5

Agora, para h=0{,}5 e n=8, os nós são x_i=0,0{,}5,1,\dots,4. Calculamos aproximadamente:
f(0)=1,\;f(0{,}5)\approx1{,}64872,\;f(1)\approx2{,}71828,\;f(1{,}5)\approx4{,}48169,
f(2)\approx7{,}38906,\;f(2{,}5)\approx12{,}18249,\;f(3)\approx20{,}08554,\;f(3{,}5)\approx33{,}11545,\;f(4)\approx54{,}59815.
Método do trapézio:
T_8 = \frac{0{,}5}{2}\Bigl[f(0)+2\sum_{i=1}^{7}f(x_i)+f(4)\Bigr] =0{,}25\bigl[1+2\cdot81{,}62123+54{,}59815\bigr].
Aqui \sum_{i=1}^{7}f(x_i)=81{,}62123. Então
1+163{,}24246+54{,}59815=218{,}84061, \quad T_8=0{,}25\times218{,}84061=54{,}71015\approx54{,}710.

Passo 6

Método de Simpson com h=0{,}5 e n=8:
S_8 = \frac{0{,}5}{3}\Bigl[f(0)+4\sum_{i\,\text{ímpar}}f(x_i)+2\sum_{i\,\text{par},\,i\neq0,8}f(x_i)+f(4)\Bigr].í
Somatórios:
\sum_{\text{ímpar}}f(x_i)=f(0{,}5)+f(1{,}5)+f(2{,}5)+f(3{,}5)=51{,}42831,í
\sum_{\text{par}\neq0,8}f(x_i)=f(1)+f(2)+f(3)=30{,}19288.
Então dentro dos colchetes:
1+4\cdot51{,}42831+2\cdot30{,}19288+54{,}59815 =1+205{,}71324+60{,}38576+54{,}59815 =321{,}69715.
Multiplicando:
S_8 = \frac{0{,}5}{3}\times321{,}69715 =\tfrac{321{,}69715}{6}=53{,}61619\approx53{,}616.

Resposta

Trapézio, h=1: 57{,}991
Simpson, h=1: 53{,}863
Trapézio, h=0{,}5: 54{,}710
Simpson, h=0{,}5: 53{,}616

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