8^{\circ} ) Usando o Interpolador de Gregory Newton, determine P n(x) e calcule P(5).
0 1 2
x 0 2 4
y -32 -18 28

Passo 1

O enunciado pede para usar o interpolador de Gregory–Newton em três pontos com espaçamento uniforme h=2, cujos pares (x,y) são
(0,\,-32),\quad(2,\,-18),\quad(4,\,28).
O conteúdo é construção de um polinômio de grau 2 usando diferenças finitas e depois avaliar esse polinômio em x=5.

Passo 2

Montamos a tabela de diferenças finitas:
\begin{array}{c|c|c|c} x & y & \Delta y & \Delta^2 y \\\ \hline 0 & -32 & 14 & 32 \\\\ 2 & -18 & 46 & \\\\ 4 & 28 & & \end{array}
Aqui \Delta y_0 = -18-(-32)=14, \Delta y_1=28-(-18)=46 e \Delta^2 y_0=46-14=32.

Passo 3

No formato de Gregory–Newton definimos
t = \frac{x - 0}{2} = \frac{x}{2}.
O polinômio P_n(x) em forma de Newton é
P_n(x) = y_0 + t\,\Delta y_0 + \frac{t(t-1)}{2}\,\Delta^2 y_0.
Substituindo y_0=-32, \Delta y_0=14 e \Delta^2 y_0=32, vem
P_n(x) = -32 + t\cdot14 + \frac{t(t-1)}{2}\cdot32.

Passo 4

Substituindo t=\tfrac{x}{2} e simplificando:
P_n(x) = -32 + 14\frac{x}{2} + 16\Bigl(\frac{x}{2}\bigl(\frac{x}{2}-1\bigr)\Bigr) = -32 + 7x +16\Bigl(\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}\Bigr) = -32 +7x +4x^2 -8x =4x^2 -x -32.

Passo 5

Finalmente, avaliamos em x=5:
P(5) = 4\cdot5^2 -5 -32 =4\cdot25 -5 -32 =100 -5 -32 =63.

Resposta

O polinômio interpolador é
P_n(x)=4x^2 - x -32,
e P(5)=63.

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