{ }^{\text {a }} 9^{\circ} ) Considere a função y=f(x) dada pela tabela: Determinar o polinômio de interpolação
i 0 1 2 3
x -1 0 1 2
y -2 0 2 4
Usando:
a) a-fórmula de Newton.
b) a fórmula de Newton-Gregory.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos (x_i,y_i):
\begin{array}{c|cccc} i & 0 & 1 & 2 & 3\\hline x_i & -1 & 0 & 1 & 2\\\ y_i & -2 & 0 & 2 & 4 \end{array}
e pede o polinômio interpolador P(x) de grau até 3, usando (a) a forma de Newton com diferenças divididas e (b) a forma de Newton–Gregory com diferenças progressivas. O conteúdo é interpolação polinomial e vamos precisar montar as diferenças divididas e as diferenças finitas.

Passo 2

Calcular as diferenças divididas para a forma de Newton.
Definimos
b_0 = y_0 = -2,
b_1 = f[x_0,x_1] = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{0 - (-2)}{0 - (-1)} = 2,
b_2 = f[x_0,x_1,x_2] = \frac{f[x_1,x_2] - f[x_0,x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{\frac{2-0}{1-0} - 2}{1 - (-1)} = \frac{2 - 2}{2} = 0,
b_3 = f[x_0,x_1,x_2,x_3] = 0
pois já vemos que os incrementos de primeiro grau são todos iguais, tornando as divididas de ordem maior nulas.

Passo 3

Escrever a forma de Newton com esses coeficientes.
P(x) = b_0 + b_1\,(x - x_0) + b_2\,(x - x_0)(x - x_1) + b_3\,(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2).
Substituindo x_0=-1 e b_0,b_1,b_2,b_3:
P(x) = -2 + 2\,(x + 1) + 0 + 0 = -2 + 2x + 2 = 2x.

Passo 4

Agora usar a fórmula de Newton–Gregory. Tomamos passo uniforme h=1 e t=\frac{x - x_0}{h}=x+1. Montamos as diferenças progressivas:
\begin{array}{c|cccc} i & 0 & 1 & 2 & 3\\hline y_i & -2 & 0 & 2 & 4\\\ \Delta y_i & 2 & 2 & 2 & \\\ \Delta^2 y_i & 0 & 0 & & \\\ \Delta^3 y_i & 0 & & & \end{array}
Logo \Delta y_0=2 e \Delta^2y_0=\Delta^3y_0=0.

Passo 5

Escrever a forma de Newton–Gregory:
P(x) = y_0 + t\,\Delta y_0 + \frac{t(t-1)}{2!}\,\Delta^2 y_0 + \frac{t(t-1)(t-2)}{3!}\,\Delta^3 y_0 = -2 + (x+1)\,2 + 0 + 0 = 2x.

Resposta

a) Pela fórmula de Newton (diferenças divididas):
P(x) = -2 + 2\,(x+1) = 2x.
b) Pela fórmula de Newton–Gregory (diferenças progressivas):
P(x) = -2 + 2\,(x+1) = 2x.

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