Calcule
\int_{0}^{1} x(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{1} x\bigl(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}\bigr)\,dx.
Este é um caso de integrais de potências de x. Vamos usar a regra de potência
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando usando expoentes:
x\bigl(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}\bigr) = x\bigl(x^{1/3}+x^{1/4}\bigr) = x^{1+1/3} + x^{1+1/4} = x^{4/3} + x^{5/4}.

Passo 3

Calculamos
\int_{0}^{1} x^{4/3}\,dx = \left[\frac{x^{4/3+1}}{4/3+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{7/3}}{7/3} - 0 = \frac{3}{7}.

Passo 4

Calculamos
\int_{0}^{1} x^{5/4}\,dx = \left[\frac{x^{5/4+1}}{5/4+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{9/4}}{9/4} - 0 = \frac{4}{9}.

Passo 5

Somamos os resultados:
\frac{3}{7} + \frac{4}{9} = \frac{27 + 28}{63} = \frac{55}{63}.

Resposta

\displaystyle \frac{55}{63}

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