Calcule a integral indefinida
\int \frac{x+5}{x^{2}+x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x+5}{x^{2}+x-2}\,dx
Este é um caso de integral de função racional; vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador
x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1).

Passo 3

Escrevemos
\frac{x+5}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}.
Multiplicando em cruz:
x+5 = A(x-1) + B(x+2).
Expandindo e comparando coeficientes em x:
A + B = 1,
-\,A + 2B = 5.
Da primeira equação A=1-B. Substituindo na segunda:
-(1-B)+2B=5\quad\Longrightarrow\quad 3B=6\quad\Longrightarrow\quad B=2,
A=1-2=-1.

Passo 4

Substituindo A e B no integrando:
\frac{x+5}{x^{2}+x-2} = -\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x-1}.
Logo
\int \frac{x+5}{x^{2}+x-2}\,dx = \int \Bigl(-\frac{1}{x+2} + \frac{2}{x-1}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int -\frac{1}{x+2}\,dx = -\ln\lvert x+2\rvert,
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln\lvert x-1\rvert.
Somando e adicionando a constante C, obtemos a primitiva.

Resposta

-\ln\lvert x+2\rvert + 2\ln\lvert x-1\rvert + C.

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