Calcule a integral definida, pelo método de substituição
\int_{e}^{e^{4}} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{e}^{e^{4}} \frac{dx}{x \sqrt{\ln x}}
usando o método de substituição. O conteúdo é integração por substituição, onde vamos transformar a variável x em uma variável t que simplifique o radical \sqrt{\ln x}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \ln x,
então
dt = \frac{dx}{x}.
Quando x = e, temos t = \ln e = 1. Quando x = e^{4}, temos t = \ln\bigl(e^{4}\bigr) = 4. A integral passa a ser
\int_{e}^{e^{4}} \frac{dx}{x \sqrt{\ln x}} = \int_{1}^{4} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int_{1}^{4} t^{-\tfrac12}\,dt.

Passo 3

Sabendo que
\int t^{-\tfrac12}\,dt = 2\,t^{\tfrac12} + C,
podemos usar esse antiderivado na integral definida.

Passo 4

Aplicando os limites de 1 a 4, obtemos
\left.2\sqrt{t}\,\right|_{1}^{4} = 2\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{1}\bigr) = 2(2 - 1) = 2.

Resposta

2

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