Calcule as integrais abaixo:
(b) \int_{0}^{1} t e^{t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} t\,e^{t}\,dt.
O conteúdo que vamos usar é a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para integrar por partes de modo a simplificar:
u = t \quad\Longrightarrow\quad du = dt,
dv = e^{t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad v = e^{t}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes em \int t\,e^{t}\,dt, temos
\int t\,e^{t}\,dt = t\,e^{t} - \int e^{t}\,dt = t\,e^{t} - e^{t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} t\,e^{t}\,dt = \bigl[t\,e^{t} - e^{t}\bigr]_{0}^{1} = \bigl(1\cdot e^{1} - e^{1}\bigr) - \bigl(0\cdot e^{0} - e^{0}\bigr).
Simplificando,
( e - e ) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1.

Resposta

1

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