Calcule as integrais abaixo:
(c) \int \cos ^{3}(x) \operatorname{sen}^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \cos^{3}(x)\,\sin^{2}(x)\,dx
Este é um caso de potências de seno e cosseno em que podemos usar a identidade \cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x) e depois a substituição u=\sin(x).

Passo 2

Reescrevemos a integral isolando um fator \cos(x)\,dx e usando \cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x):
\int \cos^{3}(x)\,\sin^{2}(x)\,dx =\int \bigl(\cos^{2}(x)\bigr)\sin^{2}(x)\,\cos(x)\,dx =\int \bigl(1-\sin^{2}(x)\bigr)\sin^{2}(x)\,\cos(x)\,dx.

Passo 3

Fazendo a substituição
u=\sin(x), \quad du=\cos(x)\,dx,
a integral passa a ser em u:
\int \bigl(1-u^{2}\bigr)u^{2}\,du.

Passo 4

Expandindo o integrando e integrando termo a termo:
\int \bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du =\int u^{2}\,du \;-\;\int u^{4}\,du =\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}+C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\sin(x), obtemos
\frac{\sin^{3}(x)}{3}-\frac{\sin^{5}(x)}{5}+C.

Resposta

\boxed{\int \cos^{3}(x)\,\sin^{2}(x)\,dx =\frac{\sin^{3}(x)}{3}-\frac{\sin^{5}(x)}{5}+C.}

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