Calcule as integrais abaixo:
(a) \int \frac{x}{1+3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x}{1+3x^{2}}\,dx
O conteúdo é integração por substituição, pois o numerador x\,dx está relacionado à derivada do denominador 1+3x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 3x^2
Logo,
du = 6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{6}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
\int \frac{x}{1+3x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Integramos em u:
\frac{1}{6}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{6}\ln\bigl|u\bigr| + C.
Substituindo u = 1+3x^2, obtemos a antiderivada.

Resposta

\int \frac{x}{1+3x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}\ln\bigl(1+3x^2\bigr) + C.

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