Calcule as integrais abaixo:
(d) \int_{2}^{5} \frac{1}{\sqrt{x-2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}\,dx,
que diverge na fronteira inferior x=2. Para resolver, usaremos mudança de variável e verificaremos a convergência no limite.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 2\quad\Longrightarrow\quad du = dx.
Quando x=2, temos u=0. Quando x=5, temos u=3. Assim
\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}\,dx = \int_{0}^{3}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Para calcular
\int u^{-\tfrac12}\,du,
usamos a fórmula \int u^{p}du = u^{p+1}/(p+1) para p\neq -1. Aqui p=-\tfrac12, logo
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.

Passo 4

Avaliando de 0 a 3, obtemos
2\,u^{\tfrac12}\Big|_{0}^{3} =2\sqrt{3}-2\sqrt{0} =2\sqrt{3}.
Além disso, \lim_{u\to0^+}2u^{\tfrac12}=0, então a integral converge.

Resposta

2\sqrt{3}

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