Calcule as integrais abaixo utilizando a 1^{\underline{\mathrm{a}}} regra de Simpson \operatorname{com} n_{x}=n_{y}=4. Compare com o valor exato dado.
(a) \int_{0}^{2} d y \int_{0}^{1}\left(x^{2}+2 y\right) d x=\frac{14}{3}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral dupla
I=\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{1}\bigl(x^{2}+2y\bigr)\,dx\,dy
usando a 1ª regra de Simpson composta com n_x=n_y=4, e comparar com o valor exato I_{\rm exato}=14/3.
Para isso, vamos usar o produto da regra de Simpson em x e em y, ou seja,
I\approx \frac{h_x}{3}\,\frac{h_y}{3}\sum_{i=0}^{4}\sum_{j=0}^{4}w_i\,w_j\,f(x_i,y_j),
onde h_x=(1-0)/4, h_y=(2-0)/4, e w_i,w_j são os pesos de Simpson \{1,4,2,4,1\}.

Passo 2

Definimos o passo e os nós em cada direção:
h_x=\frac{1}{4}=0{,}25,\quad x_i=0+i\,h_x,\quad i=0,\dots,4,
h_y=\frac{2}{4}=0{,}5,\quad y_j=0+j\,h_y,\quad j=0,\dots,4.
Os pesos de Simpson em 1D são
\{w_0,w_1,w_2,w_3,w_4\}=\{1,4,2,4,1\}.

Passo 3

Como f(x,y)=x^2+2y é soma de termo em x e termo em y, podemos separar a soma dupla:
S=\sum_{i=0}^4\sum_{j=0}^4 w_iw_j\,f(x_i,y_j) =\underbrace{\sum_{i=0}^4 w_i\,x_i^2}_{S_x}\;\underbrace{\sum_{j=0}^4 w_j}_{\Sigma_w} \;+\;2\;\underbrace{\sum_{i=0}^4 w_i}_{\Sigma_w}\;\underbrace{\sum_{j=0}^4 w_j\,y_j}_{S_y}.
Calculamos cada parte:
\Sigma_w=\sum_{k=0}^4 w_k=1+4+2+4+1=12.
S_x=\sum_{i=0}^4 w_i\,x_i^2 =1\cdot0^2+4\cdot0{,}25^2+2\cdot0{,}5^2+4\cdot0{,}75^2+1\cdot1^2 =0+0{,}25+0{,}5+2{,}25+1=4.
S_y=\sum_{j=0}^4 w_j\,y_j =1\cdot0+4\cdot0{,}5+2\cdot1+4\cdot1{,}5+1\cdot2 =0+2+2+6+2=12.

Passo 4

Substituindo em S:
S = S_x\;\Sigma_w \;+\;2\;\Sigma_w\;S_y =4\cdot12 +2\cdot12\cdot12 =48 +288 =336.
A aproximação de I pela regra de Simpson composta em 2D é
I\approx \frac{h_x}{3}\,\frac{h_y}{3}\,S =\frac{0{,}25}{3}\,\frac{0{,}5}{3}\times336 =\frac{0{,}125}{9}\times336 =\frac{42}{9} =\frac{14}{3}.

Resposta

A aproximação pela regra de Simpson composta com n_x=n_y=4 é
I_{\rm Simp}=\frac{14}{3},
que coincide exatamente com o valor exato \tfrac{14}{3}, logo o erro é zero.

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