Calcule as integrais abaixo utilizando a 1^{\underline{\mathrm{a}}} regra de Simpson \operatorname{com} n_{x}=n_{y}=4. Compare com o valor exato dado.
(b) \int_{0}^{\pi / 2} d x \int_{0}^{0,4} y \operatorname{sen}(x) d y=0,08

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral dupla
I = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{0,4} y\,\sin(x)\,dy\,dx
usando a 1ª regra de Simpson composta com n_x=n_y=4, e depois comparar com o valor exato dado, I_{\rm exato}=0,08. O conteúdo envolvido é a aplicação da fórmula de Simpson em duas variáveis, que se obtém aplicando Simpson em y para cada x_i e em seguida em x.

Passo 2

Para a regra composta de Simpson em duas direções, dividimos
x\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\quad y\in[0,0,4]
em 4 subintervalos iguais:
h_x = \frac{\pi/2 - 0}{4} = \frac{\pi}{8}, \quad h_y = \frac{0,4 - 0}{4} = 0,1.
Os pontos de amostragem são
x_i = i\,h_x,\quad i=0,1,2,3,4; \quad y_j = j\,h_y,\quad j=0,1,2,3,4.
Os coeficientes de peso em cada direção seguem o padrão de Simpson:
c_i=\{1,4,2,4,1\},\quad d_j=\{1,4,2,4,1\}.
A aproximação fica
I_{\rm S} \approx \frac{h_x\,h_y}{9} \sum_{i=0}^{4}\sum_{j=0}^{4}c_i\,d_j\,f(x_i,y_j),
com f(x,y)=y\sin(x).

Passo 3

Como f(x_i,y_j)=y_j\sin(x_i), o somatório separa-se em
S_x = \sum_{i=0}^{4}c_i\,\sin(x_i), \qquad S_y = \sum_{j=0}^{4}d_j\,y_j,
e então
\sum_{i,j}c_i d_j f(x_i,y_j)=S_x\,S_y.

Passo 4

Calculando S_x:
\begin{aligned} x_0&=0,\\ \sin x_0=0\quad\Longrightarrow c_0\sin x_0=0,\\\ x_1&=\tfrac{\pi}{8},\\ \sin x_1\approx0,382683\quad\Longrightarrow4\sin x_1\approx1,53073,\\\ x_2&=\tfrac{\pi}{4},\\ \sin x_2\approx0,707107\quad\Longrightarrow2\sin x_2\approx1,41421,\\\ x_3&=\tfrac{3\pi}{8},\\ \sin x_3\approx0,923880\quad\Longrightarrow4\sin x_3\approx3,69552,\\\ x_4&=\tfrac{\pi}{2},\\ \sin x_4=1\quad\Longrightarrow1\cdot1=1. \end{aligned}
Somando,
S_x \approx 0 + 1,53073 + 1,41421 + 3,69552 + 1 = 7,64046.
Para S_y:
\begin{aligned} y_0&=0\quad\Longrightarrow1\cdot0=0,\\\ y_1&=0,1\quad\Longrightarrow4\cdot0,1=0,4,\\\ y_2&=0,2\quad\Longrightarrow2\cdot0,2=0,4,\\\ y_3&=0,3\quad\Longrightarrow4\cdot0,3=1,2,\\\ y_4&=0,4\quad\Longrightarrow1\cdot0,4=0,4, \end{aligned}
S_y = 0 + 0,4 + 0,4 + 1,2 + 0,4 = 2,4.

Passo 5

O fator diante da soma é
\frac{h_x\,h_y}{9} = \frac{\tfrac{\pi}{8}\cdot0,1}{9} = \frac{\pi}{720}\approx0,0043633.
Assim,
I_{\rm S} \approx \frac{\pi}{720}\,S_x\,S_y \approx 0,0043633 \times (7,64046\times2,4) \approx 0,08001.

Passo 6

Comparando com o valor exato I_{\rm exato}=0,08, o erro absoluto é
|I_{\rm S}-I_{\rm exato}|\approx|0,08001-0,08|=1\times10^{-5},
o que demonstra ótima precisão para n_x=n_y=4.

Resposta

Aproximação pelo método de Simpson: I_{\rm S}\approx0,08001.
Valor exato: I=0,08.
Erro absoluto: aproximadamente 1\times10^{-5}.

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