1. Use o método da falsa posição para achar uma aproximação da raiz da função f(x)=\cos (x)-x^{2} no intervalo [0,1] tal que \left|f\left(x_{k}\right)\right| \leq 0,01. Observação faça utilizando a formula indicada. Utilize o intervalo de [0,1] se possível Formula:
x_{3}=\frac{x_{1}\left|f\left(x_{2}\right)\right|+x_{2}\left|f\left(x_{1}\right)\right|}{\left|f\left(x_{1}\right)\right|+\left|f\left(x_{2}\right)\right|}

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da falsa posição (regula falsi) para aproximar uma raiz de
f(x)=\cos(x)-x^{2}
no intervalo [0,1] de modo que \bigl|f(x_{k})\bigr|\le0,01. Vamos aplicar iterativamente a fórmula
x_{\text{new}} =\frac{x_{1}\,\bigl|f(x_{2})\bigr|+x_{2}\,\bigl|f(x_{1})\bigr|} {\bigl|f(x_{1})\bigr|+\bigl|f(x_{2})\bigr|},
atualizando o intervalo [x_{1},x_{2}] a cada passo até satisfazer o critério de parada.

Passo 2

Verificamos o sinal de f nas extremidades:
f(0)=\cos(0)-0^{2}=1>0,
f(1)=\cos(1)-1^{2}\approx0,5403-1=-0,4597<0.
Como f(0) e f(1) têm sinais opostos, existe raiz em [0,1]. Definimos inicialmente x_{1}=0 e x_{2}=1.

Passo 3

Primeira iteração:
x_{3} =\frac{0\cdot\bigl|f(1)\bigr|+1\cdot\bigl|f(0)\bigr|} {\bigl|f(0)\bigr|+\bigl|f(1)\bigr|} =\frac{1}{1+0,4597}\approx0,6840.
Calculamos
f(0,6840)=\cos(0,6840)-(0,6840)^{2}\approx0,7746-0,4680=0,3066>0.
Como f(0,6840) e f(1) têm sinais opostos, o novo intervalo é [0,6840,\,1]. Ainda \bigl|f(0,6840)\bigr|\approx0,3066>0,01.

Passo 4

Segunda iteração com x_{1}=0,6840, x_{2}=1:
x_{3} =\frac{0,6840\cdot0,4597+1\cdot0,3066}{0,3066+0,4597} \approx\frac{0,3145+0,3066}{0,7663}\approx0,8105.
f(0,8105)=\cos(0,8105)-(0,8105)^{2}\approx0,6889-0,6569=0,0320>0.
Raiz em [0,8105,\,1]. Ainda \bigl|f(0,8105)\bigr|\approx0,0320>0,01.

Passo 5

Terceira iteração com x_{1}=0,8105, x_{2}=1:
x_{3} =\frac{0,8105\cdot0,4597+1\cdot0,0320}{0,0320+0,4597} \approx\frac{0,3726+0,0320}{0,4917}\approx0,8234.
f(0,8234)=\cos(0,8234)-(0,8234)^{2}\approx0,6789-0,6780=0,0009.
Aqui \bigl|f(0,8234)\bigr|\approx0,0009\le0,01, então podemos parar.

Resposta

A aproximação da raiz que satisfaz \bigl|f(x_{k})\bigr|\le0,01 é
x\approx0,8234.

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