Determine:
uma expressão para y^{\prime}=g^{\prime}(x) se y=g(x) é dada implicitamente por y^{3}+\left(x^{2}+1\right) y-x=\

Passo 1

O enunciado nos dá uma relação implícita
y^{3} + \bigl(x^{2}+1\bigr)\,y - x = 0
que define y=g(x). O conteúdo aqui é derivada implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, usando regra da cadeia e regra do produto, e depois isolar y'.

Passo 2

Diferenciando a equação implícita em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3} + (x^{2}+1)y - x\bigr) = 0.
Pela regra da cadeia e do produto:
3y^{2}\,y' + \bigl(2x\,y + (x^{2}+1)\,y'\bigr) - 1 = 0.

Passo 3

Agrupamos os termos que multiplicam y':
3y^{2}\,y' + (x^{2}+1)\,y' + 2x\,y - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(3y^{2} + x^{2} + 1\bigr)\,y' + 2x\,y - 1 = 0.

Passo 4

Isolando y', obtemos
\bigl(3y^{2} + x^{2} + 1\bigr)\,y' = 1 - 2x\,y \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{1 - 2x\,y}{3y^{2} + x^{2} + 1}.

Resposta

y' = \frac{1 - 2x\,y}{3y^{2} + x^{2} + 1}.

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