( 2,0 pontos) Considere o sistema de equações lineares abaixo:
\begin{aligned} & x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=1 \\\ & 2 x_{1}+8 x_{2}+A(2,3) x_{3}=-4 \\\ & 4 x_{1}+10 x_{2}+26 x_{3}=10 \end{aligned}
a) Se \mathrm{A}(2,3)=-9, é possível resolver este sistema usando o método de decomposição de Cholesky?
b) Qual valor \mathrm{A}(2,3) precisa assumir para que seja possível resolver o sistema usando o método de decomposição de Cholesky? Justifique.
c) Resolva o sistema usando o método de decomposição de Cholesky para o valor que você identificou no item b.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\[6pt] 2 & 8 & \mathrm{A}(2,3) \\[6pt] 4 & 10 & 26 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 10\end{pmatrix}
e pergunta sobre a aplicação do método de decomposição de Cholesky. Esse método exige que a matriz dos coeficientes seja simétrica e positiva definida (todos os principais menores devem ser positivos).]

Passo 2

Se \mathrm{A}(2,3)=-9, o elemento (2,3) vale -9 mas o elemento (3,2) vale 10. Logo a matriz não é simétrica, pois
\mathrm{A}_{23} = -9 \neq 10 = \mathrm{A}_{32}.
Sem simetria, não podemos usar Cholesky.

Passo 3

Para aplicar Cholesky precisamos que \mathrm{A}_{23}=\mathrm{A}_{32}=10. Assim a matriz fica
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\[3pt] 2 & 8 & 10\\[3pt] 4 & 10 & 26 \end{pmatrix}.
Verificamos os principais menores:
\Delta_1 = 1 > 0,\quad \Delta_2 = \det\!\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&8\end{pmatrix}=8-4=4>0,
\Delta_3 = \det A =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}8&10\\\ 10&26\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&10\\\ 4&26\end{pmatrix} +4\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&8\\\ 4&10\end{pmatrix} =36>0.
Portanto A é positiva definida e simétrica.]

Passo 4

Fazemos A=L\,L^{T}. Seja
L=\begin{pmatrix} \ell_{11}&0&0\\[3pt] \ell_{21}&\ell_{22}&0\\[3pt] \ell_{31}&\ell_{32}&\ell_{33} \end{pmatrix}.
Calculando:
\ell_{11}=\sqrt{1}=1,\quad \ell_{21}=\frac{2}{1}=2,\quad \ell_{31}=\frac{4}{1}=4,
\ell_{22}=\sqrt{8-\ell_{21}^2}=\sqrt{8-4}=2,\quad \ell_{32}=\frac{10-\ell_{31}\ell_{21}}{\ell_{22}}=\frac{10-8}{2}=1,
\ell_{33}=\sqrt{26-\ell_{31}^2-\ell_{32}^2} =\sqrt{26-16-1}=3.
Logo
L=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 2&2&0\\\\ 4&1&3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolvemos primeiro L\,y=b:
y_{1}=\frac{1}{1}=1,\quad y_{2}=\frac{-4-2\cdot1}{2}=-3,\quad y_{3}=\frac{10-4\cdot1-1\cdot(-3)}{3}=3.
Depois L^{T}x=y:
3\,x_{3}=3\implies x_{3}=1,\quad 2\,x_{2}+1\cdot x_{3}=-3\implies x_{2}=-2,
x_{1}+2\,x_{2}+4\,x_{3}=1\implies x_{1}=1.

Resposta

(a) Não, pois com \mathrm{A}(2,3)=-9 a matriz não é simétrica.
(b) É preciso \mathrm{A}(2,3)=10 para que a matriz seja simétrica e positiva definida.
(c) (x_{1},x_{2},x_{3})=(1,-2,1).

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