(2,0 pontos) a) É possível resolver o sistema de equações lineares abaixo pelo método de eliminação de Gauss-Jordan? b) Que modificação precisa ser feita para que seja possível, utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan, encontrar a solução?
x_{2}+19 x_{3}=1
13 x_{1}+17 x_{2}+x_{3}=5
12 x_{2}-x_{3}=0
c) Faça a modificação necessária, e resolva o sistema usando o método de eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em três incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3}) e pede para usar o método de eliminação de Gauss–Jordan. O conteúdo principal é montar a matriz aumentada, obter pivôs iguais a 1 em cada linha e zerar as demais entradas dessas colunas. Para aplicar o método sem emperrar, o pivô de cada etapa não pode ser zero.

Passo 2

Ao escrever a matriz aumentada na ordem dada, o coeficiente de x_{1} na primeira linha é zero, logo não há pivô em \,(1,1). Isso impede a eliminação direta.
Para consertar, basta trocar a primeira equação com a segunda:
\begin{cases} 13x_{1}+17x_{2}+x_{3}=5,\\\ x_{2}+19x_{3}=1,\\\\ 12x_{2}-x_{3}=0. \end{cases}

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada e iniciamos Gauss–Jordan:
\left[\begin{array}{ccc|c} 13 & 17 & 1 & 5\\\\ 0 & 1 & 19 & 1\\\\ 0 & 12 & -1 & 0 \end{array}\right]
  1. R1 ← R1⁄13 para obter pivô 1 em (1,1):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{17}{13} & \tfrac{1}{13} & \tfrac{5}{13}\\\\ 0 & 1 & 19 & 1\\\\ 0 & 12 & -1 & 0 \end{array}\right]
  1. Zerar coluna 2 em R1 e R3:
    • R1 ← R1 -\tfrac{17}{13}·R2 dá x_{1}-\tfrac{322}{13}x_{3}=-\tfrac{12}{13}.
    • R3 ← R3 -12·R2 dá -229\,x_{3}=-12.

Passo 4

Da última linha temos
-229\,x_{3}=-12 \;\Longrightarrow\; x_{3}=\tfrac{12}{229}.
Substituindo em x_{2}+19x_{3}=1:
x_{2}=1-19\cdot\tfrac{12}{229} =\tfrac{1}{229}.
Finalmente, em x_{1}-\tfrac{322}{13}x_{3}=-\tfrac{12}{13}:
x_{1} =\tfrac{322}{13}\cdot\tfrac{12}{229}-\tfrac{12}{13} =\tfrac{1116}{2977}.

Resposta

a) Não é possível começar sem modificação, pois o pivô em (1,1) é zero.
b) Trocar a primeira equação com a segunda.
c) \displaystyle x_{1}=\tfrac{1116}{2977},\;x_{2}=\tfrac{1}{229},\;x_{3}=\tfrac{12}{229}.

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