Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pela de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a,b] e compare os resultados
integral e^x dx [a, b]=[1,2]

Passo 1

Estamos lidando com o conteúdo de integração numérica, mais especificamente as regras do trapézio e de Simpson para aproximar a integral integral1^2 e^x,dx. Vamos precisar calcular o valor exato ( e^2 - e), escolher o número de subintervalos (4 e 6), avaliar f(x)=e^x nesses pontos e aplicar as fórmulas de cada método.

Passo 2

Para 4 subdivisões, o passo é dado por h=2-14=0,25. Os pontos e seus valores são:
x0=1,00, ;x1=1,25, ;x2=1,50, ;x3=1,75, ;x4=2,00
f(x0)=e^1approx2,71828, ;f(x1)=e^1,25approx3,49034, ;f(x2)=e^1,5approx4,48169, ;f(x3)=e^1,75approx5,75303, ;f(x4)=e^2approx7,38906

Passo 3

Aplicando a regra do trapézio com 4 subdivisões:
T4=h2l(f(x0)+2sumi=1^3f(xi)+f(x4)r) =0,252l(2,71828+2(3,49034+4,48169+5,75303)+7,38906r) approx4,69468

Passo 4

Aplicando a regra de Simpson com 4 subdivisões (n deve ser par):
S4=h3l(f(x0)+4[f(x1)+f(x3)]+2[f(x2)]+f(x4)r) =0,253l(2,71828+4(3,49034+5,75303)+2(4,48169)+7,38906r) approx4,67034

Passo 5

Para 6 subdivisões, o passo é h=2-16approx0,16667. Os pontos e valores são:
xi=1+ i,h(i=0,1,dots,6)
f(x0)=2,71828, ;f(x1)=e^1,1667approx3,21200, ;f(x2)=e^1,3333approx3,79367, ;f(x3)=4,48169, ;f(x4)=e^1,6667approx5,29449, ;f(x5)=e^1,8333approx6,25395, ;f(x6)=7,38906

Passo 6

Regra do trapézio com 6 subdivisões:
T6=h2l(f(x0)+2sumi=1^5f(xi)+f(x6)r) approx0,166672(2,71828+2cdot23,0359+7,38906) approx4,68159

Passo 7

Regra de Simpson com 6 subdivisões:
S6=h3l(f(x0)+4sumsubstacki=1,3,5f(xi)+2sumsubstacki=2,4f(xi)+f(x6)r) approx0,166673(2,71828+4cdot13,9477+2cdot9,0882+7,38906) approx4,67192

Passo 8

Comparando com o valor exato integral1^2e^x,dx=e^2-eapprox4,67078, vemos que:
  • A regra de Simpson é muito mais precisa que a do trapézio para o mesmo número de subintervalos.
  • Aumentar o número de subdivisões melhora a aproximação em ambos os casos, mas Simpson converge mais rápido.

Resposta

T_4\approx4{,}69468,\quad S_4\approx4{,}67034;\quad T_6\approx4{,}68159,\quad S_6\approx4{,}67192. A regra de Simpson fornece aproximações muito mais próximas do valor exato (\approx4{,}67078) do que a do trapézio, e o erro diminui ao aumentar o número de subintervalos.

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