Para que valores de alpha e beta, a matriz:
(lll 4 & alpha & 1 beta & 4 & 1 1 & 1 & 1 )
pode ser escrita como o produto G G^T ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar alpha e beta tais que a matriz
A= 4 & alpha & 1 beta & 4 & 1 1 & 1 & 1
seja um produto G G^T. Isso significa que A deve ser simétrica e semidefinida positiva (Gramiana).

Passo 2

Para que A=G G^T seja simétrica, comparamos A com A^T e obtemos a condição
.

Passo 3

Definindo t=alpha=beta, vamos usar o Critério de Sylvester para semidefinitude positiva, que exige que todos os menores principais de A sejam não-negativos. Primeiro, os menores 1times1 são os elementos da diagonal: 4, 4 e 1, todos positivos, sem restrições.

Passo 4

Agora os menores principais 2times2. O menor formado pelas duas primeiras linhas e colunas é
det4 & t t & 4 = 16 - t^2 >= 0,
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det4 & 1 1 & 1 = 3
Os dois menores envolvendo a terceira linha/coluna são
3
e igual a , sempre positivo.

Passo 5

Por fim, calculamos o determinante completo de A:
det(A) =4(4cdot1 -1cdot1) - t(tcdot1 -1cdot1) +1(tcdot1 -4cdot1) =8 - t^2 +2t =-(t-4)(t+2)
Para semidefinitude positiva precisamos de

que implica

Passo 6

Combinando |t|<=4 e -2<= t<=4, concluímos que a condição essencial é

Resposta

(\alpha=\beta) e (-2 \le \alpha \le 4)

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