O enunciado pede para determinar alpha e beta tais que a matriz
A= 4 & alpha & 1 beta & 4 & 1 1 & 1 & 1
seja um produto G G^T. Isso significa que A deve ser simétrica e semidefinida positiva (Gramiana).
Passo 2
Para que A=G G^T seja simétrica, comparamos A com A^T e obtemos a condição .
Passo 3
Definindo t=alpha=beta, vamos usar o Critério de Sylvester para semidefinitude positiva, que exige que todos os menores principais de A sejam não-negativos. Primeiro, os menores 1times1 são os elementos da diagonal: 4, 4 e 1, todos positivos, sem restrições.
Passo 4
Agora os menores principais 2times2. O menor formado pelas duas primeiras linhas e colunas é
det4 & t t & 4 = 16 - t^2 >= 0,
logo det4 & 1 1 & 1 = 3
Os dois menores envolvendo a terceira linha/coluna são