Resolva o seguinte sistema linear pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial
2 x1-3 x2+10 x3 & =3 -x1+4 x2+2 x3 & =20 5 x1+2 x2+x3 & =-12

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Vamos precisar montar a matriz aumentada, escolher o pivô maior em valor absoluto em cada coluna, trocar linhas quando necessário, eliminar abaixo do pivô e finalmente fazer substituição reversa.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
2 & -3 & 10 &mid& 3 -1 & 4 & 2 &mid& 20 5 & 2 & 1 &mid& -12
Na primeira coluna, o maior valor absoluto é 5 (linha 3). Então trocamos linha 1 com linha 3, obtendo:
5 & 2 & 1 &mid& -12 -1 & 4 & 2 &mid& 20 2 & -3 & 10 &mid& 3

Passo 3

Calculamos os fatores de eliminação na coluna 1: f21=-15, f31=25. Eliminamos abaixo de 5:
5 & 2 & 1 &mid& -12 0 & 225 & 115 &mid& 885 0 & -195 & 485 &mid& 395

Passo 4

Para a segunda coluna, comparamos | 22/5| e | -19/5|; o maior é 22/5 (linha 2), então não trocamos. Calculamos f32=-19/522/5=-1922 e eliminamos:
5 & 2 & 1 &mid& -12 0 & 225 & 115 &mid& 885 0 & 0 & 25322 &mid& 25311

Passo 5

Agora temos matriz triangular superior. Fazemos substituição reversa:
Da última linha: 25322x3=25311 implica x3=2.
Da segunda linha: 225x2+115cdot2=885 leva a 22x2+22=88, logo x2=3.
Da primeira linha: 5x1+2cdot3+1cdot2=-12 5x1+8=-12, logo x1=-4.

Resposta

x_{1} = -4, x_{2} = 3 e x_{3} = 2

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