Calcule as integrais a seguir pela Regra dos Trapézios, 1 / 3 de Simpson e 3 / 8 de Simpson, usando quatro e seis divisões de $\mathrm{a}, \mathrm{b}. Compare os resultados.
\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x
Passo 1
Enunciado e dados que temos (resumindo bem o problema):
\text{Calcular } \int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx
Usar os métodos:
\text{Regra dos Trapézios, Simpson }1/3\text{ e Simpson }3/8
Usar duas malhas distintas: \,n=4 divisões e \,n=6 divisões do intervalo [1,4].
Informações relevantes fornecidas:
a=1,\qquad b=4,\qquad f(x)=\sqrt{x}.
O que se pede:
Aplicar cada uma das três regras com n=4 e com n=6.
Comparar os resultados (vamos comparar com o valor exato da integral).
Passo 2
Primeiro vou calcular o valor exato da integral para referência. Isso é útil para avaliar os erros numéricos.
Interpretação: aproximação por polinômios quadráticos por pares de subintervalos. Variáveis: h é o tamanho do subintervalo, x_i os nós.
Aplicando para \,n=4 (já temos h=0{,}75 e os f(x_i) do passo 3):
Índices ímpares: i=1,3 dão f(x_1)+f(x_3)\approx 1{,}3228756555+1{,}8027756377=3{,}1256512932.
Índice par interno: i=2 dá f(x_2)\approx 1{,}5811388301.
Então
Observação prática: quando n não é múltiplo de 3 (por exemplo n=4), uma abordagem comum é cobrir o máximo número de subintervalos com painéis 3/8 e tratar os subintervalos restantes por outra regra simples (por exemplo, Trapézio ou Simpson 1/3 se possível). Aqui, para seguir a exigência “usar 4 divisões”, vou aplicar um painel 3/8 sobre os primeiros três subintervalos [x_0,x_3] e usar a regra do Trapézio no último subintervalo [x_3,x_4]. Justificativa: é uma maneira natural de usar 3/8 quando n não é múltiplo de 3.
Aplicando para \,n=4 (com h=0{,}75 e os f já calculados):
\text{(3/8 combinado for }n=4)\approx 3{,}23854286970+1{,}426041863\approx 4{,}66458473270.
Agora para \,n=6: como 6 é múltiplo de 3, aplico a forma composta direta com h=0{,}5.
Coeficientes pattern para i=0,\dots,6 ficam: 1,3,3,2,3,3,1. Ou usando a fórmula genérica:
À medida que n aumenta, todas as regras melhoram (erros diminuem).
Regras de ordem mais alta (Simpson 1/3 e 3/8) entregam aproximações muito melhores que Trapézio para o mesmo n.
Entre Simpson 1/3 e 3/8 para n=6 os erros são similares; Simpson 1/3 ficou ligeiramente mais preciso aqui.
Força — você já tem as contas prontas para replicar na prova; copie os passos e pratique mais um ou dois exemplos com funções parecidas que caem fácil na prova (por ex. x^{1/3} ou x^2).]