Calcule as integrais a seguir pela Regra dos Trapézios, 1 / 3 de Simpson e 3 / 8 de Simpson, usando quatro e seis divisões de $ \mathrm{a}, \mathrm{b}. Compare os resultados.
\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x

Passo 1

Enunciado e dados que temos (resumindo bem o problema):
\text{Calcular } \int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx
Usar os métodos:
\text{Regra dos Trapézios, Simpson }1/3\text{ e Simpson }3/8é
Usar duas malhas distintas: \,n=4 divisões e \,n=6 divisões do intervalo [1,4].
Informações relevantes fornecidas:
a=1,\qquad b=4,\qquad f(x)=\sqrt{x}.
O que se pede:
  • Aplicar cada uma das três regras com n=4 e com n=6.
  • Comparar os resultados (vamos comparar com o valor exato da integral).

Passo 2

Primeiro vou calcular o valor exato da integral para referência. Isso é útil para avaliar os erros numéricos.
\int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx=\int_{1}^{4} x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{4}=\frac{2}{3}\big(4^{3/2}-1^{3/2}\big).
Como 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8, temos
\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}\approx 4{,}6666666667.
Vou usar \dfrac{14}{3} como valor exato na comparação.

Passo 3

Regra dos Trapézios composta — fórmula e explicação:
A fórmula composta com n subintervalos de largura h=\dfrac{b-a}{n} é
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right),
onde x_i=a+i\,h. Aqui f(x)=\sqrt{x}. A ideia: aproximar f por retas em cada subintervalo e somar as áreas dos trapézios.
Agora aplicando para \,n=4:
h=\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}=0{,}75.
Nós temos os nós
x_0=1,\;x_1=1{,}75,\;x_2=2{,}5,\;x_3=3{,}25,\;x_4=4.
Avalio f nesses pontos:
f(x_0)=1,\; f(x_1)=\sqrt{1{,}75}\approx 1{,}3228756555,
f(x_2)=\sqrt{2{,}5}\approx 1{,}5811388301,\; f(x_3)=\sqrt{3{,}25}\approx 1{,}8027756377,
f(x_4)=2.
Somando:
\frac{f(x_0)+f(x_4)}{2}=\frac{1+2}{2}=1{,}5,\qquad \sum_{i=1}^{3} f(x_i)\approx 4{,}7067901233.
Logo
T_4 = 0{,}75\big(1{,}5+4{,}7067901233\big)\approx 0{,}75\cdot 6{,}2067901233\approx 4{,}65509259248.
Agora para \,n=6:
h=\frac{4-1}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Nós temos os nós
x_0=1,\;x_1=1{,}5,\;x_2=2,\;x_3=2{,}5,\;x_4=3,\;x_5=3{,}5,\;x_6=4,
com
f(x_1)\approx 1{,}2247448714,\; f(x_2)\approx 1{,}4142135624,\; f(x_3)\approx 1{,}5811388301,
f(x_4)\approx 1{,}7320508076,\; f(x_5)\approx 1{,}8708286934.
Calculando:
\frac{f(x_0)+f(x_6)}{2}=1{,}5,\qquad \sum_{i=1}^{5} f(x_i)\approx 7{,}8229767648.
Logo
T_6 = 0{,}5\big(1{,}5+7{,}8229767648\big)=0{,}5\cdot 9{,}3229767648\approx 4{,}66148838240.

Passo 4

Regra de Simpson \tfrac{1}{3} composta — fórmula e explicação:
Para n par, com h=(b-a)/n,
S_{1/3,n}=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)\Big).í
Interpretação: aproximação por polinômios quadráticos por pares de subintervalos. Variáveis: h é o tamanho do subintervalo, x_i os nós.
Aplicando para \,n=4 (já temos h=0{,}75 e os f(x_i) do passo 3):
Índices ímpares: i=1,3 dão f(x_1)+f(x_3)\approx 1{,}3228756555+1{,}8027756377=3{,}1256512932.
Índice par interno: i=2 f(x_2)\approx 1{,}5811388301.
Então
S_{1/3,4}=\frac{0{,}75}{3}\Big(1+2+4\cdot 3{,}1256512932 +2\cdot 1{,}5811388301\Big).
Calculei passo a passo:
\frac{0{,}75}{3}=0{,}25,\qquad 4\cdot 3{,}1256512932\approx 12{,}5026051728,\quad 2\cdot 1{,}5811388301\approx 3{,}1622776602,
\text{parêntese total}\approx 3+12{,}5026051728+3{,}1622776602=18{,}6648828330,ê
S_{1/3,4}=0{,}25\cdot 18{,}6648828330\approx 4{,}66622070827.
Agora para \,n=6 (com h=0{,}5 e f(x_i) do passo 3):
Ímpares i=1,3,5: soma \approx 1{,}2247448714+1{,}5811388301+1{,}8708286934=4{,}6767123949.
Pares internas i=2,4: soma \approx 1{,}4142135624+1{,}7320508076=3{,}1462643699.
Então
S_{1/3,6}=\frac{0{,}5}{3}\Big(1+2+4\cdot 4{,}6767123949 +2\cdot 3{,}1462643699\Big).
Calcule:
\frac{0{,}5}{3}\approx 0{,}1666666667,\quad 4\cdot 4{,}6767123949\approx 18{,}7068495796,\quad 2\cdot 3{,}1462643699\approx 6{,}2925287398,
\text{parêntese total}\approx 3+18{,}7068495796+6{,}2925287398=27{,}9993783194,ê
S_{1/3,6}\approx 0{,}1666666667\cdot 27{,}9993783194\approx 4{,}66656305322.

Passo 5

Regra de Simpson \tfrac{3}{8} — explicação das fórmulas e aplicação prática:
A fórmula do painel único (três subintervalos, quatro pontos) é
S_{3/8,\text{single}}=\frac{3h}{8}\big(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\big).
A forma composta exige que n seja múltiplo de 3. A versão composta para n tal que 3\mid n é
S_{3/8,n}=\frac{3h}{8}\Big(f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod 3}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\pmod 3}}^{n-3} f(x_i)\Big).
Observação prática: quando n não é múltiplo de 3 (por exemplo n=4), uma abordagem comum é cobrir o máximo número de subintervalos com painéis 3/8 e tratar os subintervalos restantes por outra regra simples (por exemplo, Trapézio ou Simpson 1/3 se possível). Aqui, para seguir a exigência “usar 4 divisões”, vou aplicar um painel 3/8 sobre os primeiros três subintervalos [x_0,x_3] e usar a regra do Trapézio no último subintervalo [x_3,x_4]. Justificativa: é uma maneira natural de usar 3/8 quando n não é múltiplo de 3.
Aplicando para \,n=4 (com h=0{,}75 e os f já calculados):
  • Primeiro painel (sobre x_0,x_1,x_2,x_3):
S_{3/8,\text{panel}}=\frac{3\cdot 0{,}75}{8}\big(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\big).
Calcule as somas:
f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\approx 1+3(1{,}3228756555)+3(1{,}5811388301)+1{,}8027756377
\approx 1+3{,}9686269665+4{,}7434164903+1{,}8027756377\approx 11{,}5148190945.
Fator \dfrac{3h}{8}=\dfrac{2{,}25}{8}=0{,}28125. Assim
S_{3/8,\text{panel}}\approx 0{,}28125\cdot 11{,}5148190945\approx 3{,}23854286970.
  • Último subintervalo [x_3,x_4] pelo Trapézio:
T_{\text{last}}=\frac{h}{2}\big(f(x_3)+f(x_4)\big)=\frac{0{,}75}{2}(1{,}8027756377+2)\approx 0{,}375\cdot 3{,}8027756377\approx 1{,}426041863.
Somando as duas contribuições:
\text{(3/8 combinado for }n=4)\approx 3{,}23854286970+1{,}426041863\approx 4{,}66458473270.
Agora para \,n=6: como 6 é múltiplo de 3, aplico a forma composta direta com h=0{,}5.
Coeficientes pattern para i=0,\dots,6 ficam: 1,3,3,2,3,3,1. Ou usando a fórmula genérica:
S_{3/8,6}=\frac{3h}{8}\Big(f(x_0)+f(x_6)+3\sum_{i\not\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)} f(x_i)+2\sum_{i\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3),\,1\le i\le 5} f(x_i)\Big).
Aqui o único índice com i\equiv 0\pmod3 entre 1 e 5 é i=3.
Calculando com os f(x_i) do passo 3:
f(x_0)+f(x_6)=3,
\sum_{i\not\equiv 0\pmod3} f(x_i)=f(x_1)+f(x_2)+f(x_4)+f(x_5)\approx 6{,}24183793472,
2\sum_{i\equiv 0\pmod3} f(x_i)=2f(x_3)\approx 2\cdot 1{,}5811388301\approx 3{,}1622776602.
Somando:
\text{colchete total}\approx 3 + 3\cdot 6{,}24183793472 + 3{,}1622776602
=3 +18{,}72551380416 + 3{,}1622776602 \approx 24{,}88779146436.
Com 3h/8=3\cdot 0{,}5/8=0{,}1875,
S_{3/8,6}\approx 0{,}1875\cdot 24{,}88779146436\approx 4{,}66646089956.

Passo 6

Comparação dos resultados e erros absolutos em relação ao valor exato \dfrac{14}{3}\approx 4{,}6666666667.
Resultados obtidos:
\begin{aligned} T_4 &\approx 4{,}65509259248,\\\ T_6 &\approx 4{,}66148838240,\\[4pt] S_{1/3,4} &\approx 4{,}66622070827,\\\ S_{1/3,6} &\approx 4{,}66656305322,\\[4pt] S_{3/8,\text{(n=4 combinado)}} &\approx 4{,}66458473270,\\\ S_{3/8,6} &\approx 4{,}66646089956. \end{aligned}
Erros absolutos |\text{aprox} - \tfrac{14}{3}|:
\begin{aligned} |T_4-\tfrac{14}{3}| &\approx 0{,}01157407419,\\\ |T_6-\tfrac{14}{3}| &\approx 0{,}00517828427,\\[4pt] |S_{1/3,4}-\tfrac{14}{3}| &\approx 0{,}00044595840,\\\ |S_{1/3,6}-\tfrac{14}{3}| &\approx 0{,}00010361345,\\[4pt] |S_{3/8,\text{(n=4 combinado)}}-\tfrac{14}{3}| &\approx 0{,}00208193397,\\\ |S_{3/8,6}-\tfrac{14}{3}| &\approx 0{,}00020576711. \end{aligned}
Observações rápidas (útil para a prova):
  • À medida que n aumenta, todas as regras melhoram (erros diminuem).
  • Regras de ordem mais alta (Simpson 1/3 e 3/8) entregam aproximações muito melhores que Trapézio para o mesmo n.
  • Entre Simpson 1/3 e 3/8 para n=6 os erros são similares; Simpson 1/3 ficou ligeiramente mais preciso aqui.
Força — você já tem as contas prontas para replicar na prova; copie os passos e pratique mais um ou dois exemplos com funções parecidas que caem fácil na prova (por ex. x^{1/3} ou x^2).]

Resposta

Trapezóide (n=4): 4{,}65509259248
Trapezóide (n=6): 4{,}66148838240
Simpson 1/3 (n=4): 4{,}66622070827
Simpson 1/3 (n=6): 4{,}66656305322
Simpson 3/8 (n=4, combinado 3/8 + trapézio): 4{,}66458473270
Simpson 3/8 (n=6): 4{,}66646089956

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