Calcule as integrais usando a Quadratura de Gauss com dois pontos:
\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}} \,dx
usando a Quadratura de Gauss com dois pontos. O conteúdo é a regra de Gauss–Legendre de ordem 2 em [-1,1] e precisamos transformar o intervalo [0,1] em [-1,1].

Passo 2

A regra de Gauss–Legendre de ordem 2 em [-1,1] tem nós \xi_{1}=-\tfrac{1}{\sqrt{3}}, \xi_{2}=+\tfrac{1}{\sqrt{3}} e pesos w_{1}=w_{2}=1. Para um intervalo [a,b] e função f, vale
\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx\frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{2}w_{i}\,f\!\bigl(\tfrac{b+a}{2}+\tfrac{b-a}{2}\,\xi_{i}\bigr).
Aqui a=0, b=1, logo
\int_{0}^{1}f(x)\,dx\approx\frac{1}{2}\bigl[f(t_{1})+f(t_{2})\bigr],
com
t_{1}=\frac{1-1/\sqrt{3}}{2},\qquad t_{2}=\frac{1+1/\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Calculando numericamente os nós:
\sqrt{3}\approx1{,}73205,\quad \frac{1}{\sqrt{3}}\approx0{,}57735,
t_{1}=\frac{1-0{,}57735}{2}\approx0{,}21133, \quad t_{2}=\frac{1+0{,}57735}{2}\approx0{,}78867.

Passo 4

Definindo f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}, obtemos
f(t_{1})\approx\frac{\ln(1+0{,}21133)}{1+0{,}21133^{2}} \approx\frac{0{,}1917}{1{,}0447}\approx0{,}1836,
f(t_{2})\approx\frac{\ln(1+0{,}78867)}{1+0{,}78867^{2}} \approx\frac{0{,}5820}{1{,}6220}\approx0{,}3587.

Passo 5

Aplicando a fórmula da quadratura:
\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}\,dx \approx\frac{1}{2}\bigl(0{,}1836+0{,}3587\bigr) =0{,}2712.

Resposta

A aproximação pela Quadratura de Gauss com dois pontos é
\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}\,dx\approx0{,}2712.

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