Calcule as integrais usando a Quadratura de Gauss com dois pontos:
\int_{2}^{4} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede aproximar
\int_{2}^{4}\ln(x)\,dx
usando a quadratura de Gauss–Legendre com dois pontos.
Para isso, vamos usar a transformação
x = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}\,t,
que leva o intervalo [2,4] em x para o intervalo [-1,1] em t.

Passo 2

Aplicando a mudança de variável x=\tfrac{4+2}{2}+\tfrac{4-2}{2}t=3+t, temos
dx = \frac{4-2}{2}\,dt = 1\cdot dt,
e
\int_{2}^{4}\ln(x)\,dx = \int_{-1}^{1}\ln\!\bigl(3+t\bigr)\,dt.

Passo 3

Na quadratura de Gauss de dois pontos sobre [-1,1], os nós são
t_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad t_2 = +\frac{1}{\sqrt{3}},
e os pesos w_1=w_2=1.
Logo, a fórmula fica
\int_{-1}^{1}\ln(3+t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{2} w_i\,\ln\bigl(3+t_i\bigr) =\ln\bigl(3+t_1\bigr)+\ln\bigl(3+t_2\bigr).

Passo 4

Substituindo t_1 e t_2:
3+t_1 = 3 - \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad 3+t_2 = 3 + \frac{1}{\sqrt{3}},
então
\ln\!\Bigl(3 - \frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) + \ln\!\Bigl(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =\ln\!\Bigl[\bigl(3 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\bigl(3 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\Bigr].

Passo 5

O produto dentro do logaritmo é
\Bigl(3 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\Bigl(3 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =9 - \frac{1}{3} =\frac{26}{3}.
Logo, a aproximação final é
\int_{2}^{4}\ln(x)\,dx \approx \ln\!\Bigl(\tfrac{26}{3}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\!\bigl(\tfrac{26}{3}\bigr)\approx 2,159

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