Calcule as integrais usando a Quadratura de Gauss com dois pontos:
\int_{0}^{2} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
I = \int_{0}^{2} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x+1}}\,dx
usando a Quadratura de Gauss com dois pontos. O método consiste em transformar o integral num sobre [-1,1] e depois usar os dois nós t_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} com pesos iguais a 1.

Passo 2

Para aplicar a quadratura escrevemos
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \frac{2-0}{2}\int_{-1}^{1} f\Bigl(\frac{2-0}{2}t + \frac{2+0}{2}\Bigr)\,dt = \int_{-1}^{1} f(1+t)\,dt,
pois \frac{2-0}{2}=1. Aqui f(x)=\frac{e^{-x}}{\sqrt{x+1}}.

Passo 3

Na fórmula de Gauss com n=2 temos
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{2} w_i\,g(t_i),
onde
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}},\quad t_{2}=+\frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad w_{1}=w_{2}=1.
No nosso caso g(t)=f(1+t).

Passo 4

Os pontos em x são
x_i = 1 + t_i,
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x_{1} = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x_{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Calculamos f(x_i):
f(x_1) = \frac{\exp\bigl(-\bigl(1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\bigr)}{\sqrt{\bigl(1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)+1}} \approx \frac{e^{-0.42265}}{\sqrt{1.42265}} \approx \frac{0.6555}{1.1920} \approx 0.5499,
f(x_2) = \frac{\exp\bigl(-\bigl(1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\bigr)}{\sqrt{\bigl(1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)+1}} \approx \frac{e^{-1.57735}}{\sqrt{2.57735}} \approx \frac{0.2065}{1.6054} \approx 0.1286.

Passo 6

Somando os dois termos com peso 1, obtemos a aproximação
I \approx f(x_1) + f(x_2) \approx 0.5499 + 0.1286 = 0.6785.

Resposta

\int_{0}^{2} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x+1}}\,dx \approx 0.6785.

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