Questão 1: (6.0) Dê uma aproximação para o valor da integral
Através da:
Regra 1 / 3 de Simpson ( n=4 )
\int_{1}^{5} \log (x) d x

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para
\int_{1}^{5}\ln(x)\,dx
usando a Regra 1/3 de Simpson com n=4.
O conteúdo envolvido é integração numérica pelo método de Simpson, que requer dividir o intervalo em n subintervalos iguais, avaliar a função nos nós e aplicar a fórmula de Simpson.

Passo 2

Calcular o passo
h = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 1}{4} = 1.
Os nós são
x_0 = 1,\quad x_1 = 2,\quad x_2 = 3,\quad x_3 = 4,\quad x_4 = 5.

Passo 3

Avaliar f(x) = \ln(x) em cada nó:
\ln(1) = 0,\quad \ln(2)\approx0,6931,\quad \ln(3)\approx1,0986,\quad \ln(4)\approx1,3863,\quad \ln(5)\approx1,6094.

Passo 4

Aplicar a Regra 1/3 de Simpson:
\int_{1}^{5}\ln(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4\bigl(f(x_1)+f(x_3)\bigr)+2\,f(x_2)+f(x_4)\Bigr].
Substituindo:
\frac{1}{3}\Bigl[0 + 4(0,6931 + 1,3863) + 2(1,0986) + 1,6094\Bigr].

Passo 5

Calcular a soma interior:
4(0,6931 + 1,3863) = 4\cdot2,0794 = 8,3176,\quad 2\cdot1,0986 = 2,1972,
0 + 8,3176 + 2,1972 + 1,6094 = 12,1242.
Logo a aproximação é
\frac{1}{3}\times12,1242 \approx 4,0414.

Resposta

A aproximação pelo método de Simpson com n=4 é aproximadamente 4,0414.

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