Questão 1: EDO - Equação Diferencial Ordinária

Considere o PVI (Problema de Valor Inicial - PVI):
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=6 e^{-t}, \quad t \in[0,0.2] \\\ y(0)=2 \\\ y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.
(a) Identifique a EDO e as condições iniciais do PVI.
(b) Transforme a EDO de segunda ordem em um sistema de duas EDOs de primeira ordem.
(c) Aproxime a solução do sistema de EDOs (obtido no item anterior, no intervalo discreto com \Delta t=0.1, usando o método de Euler Explícito.
(d) Sabendo que a solução exata é y(t)=2 e^{2 t}-e^{t}+e^{-t}, avalie o erro cometido.

Passo 1

O enunciado apresenta um PVI de segunda ordem em t\in[0,0,2] com a EDO
y'' - 3y' + 2y = 6 e^{-t}
e condições iniciais
y(0)=2,\quad y'(0)=2.
Precisamos:
  1. Identificar a EDO e as condições iniciais.
  2. Transformar em sistema de duas EDOs de primeira ordem.
  3. Aplicar o método de Euler explícito com \Delta t=0,1.
  4. Usar a solução exata
y(t)=2e^{2t}-e^t+e^{-t}
para avaliar o erro.

Passo 2

A EDO de segunda ordem é
y'' - 3y' + 2y = 6 e^{-t}
com condições iniciais
y(0)=2, \quad y'(0)=2.

Passo 3

Definimos
x_1 = y, \quad x_2 = y'.
Então obtemos o sistema de primeira ordem
\begin{cases} x_1' = x_2,\\\ x_2' = 3x_2 - 2x_1 + 6e^{-t}, \end{cases}
com
x_1(0)=2, \quad x_2(0)=2.

Passo 4

O método de Euler explícito com \Delta t=0,1 usa o esquema
x_{1,n+1} = x_{1,n} + \Delta t\,x_{2,n},
x_{2,n+1} = x_{2,n} + \Delta t\bigl(3x_{2,n} - 2x_{1,n} + 6e^{-t_n}\bigr).
Para n=0 ( t_0=0, x_{1,0}=2, x_{2,0}=2):
x_{1,1} = 2 + 0,1\cdot 2 = 2,2,
x_{2,1} = 2 + 0,1\bigl(3\cdot 2 - 2\cdot 2 + 6e^{0}\bigr) = 2 + 0,1\cdot 8 = 2,8.

Passo 5

Para n=1 ( t_1=0,1, x_{1,1}=2,2, x_{2,1}=2,8):
x_{1,2} = 2,2 + 0,1\cdot 2,8 = 2,48,
x_{2,2} = 2,8 + 0,1\bigl(3\cdot 2,8 - 2\cdot 2,2 + 6e^{-0,1}\bigr) = 2,8 + 0,1\bigl(8,4 - 4,4 + 6\cdot 0,904837\ldots\bigr) \approx 3,74288.

Passo 6

A solução exata e sua derivada são
y(t)=2e^{2t}-e^t+e^{-t},
y'(t)=4e^{2t}-e^t - e^{-t}.
Em t=0,1:
y(0,1)=2e^{0,2}-e^{0,1}+e^{-0,1}\approx2,242472,
y'(0,1)=4e^{0,2}-e^{0,1}-e^{-0,1}\approx2,875604.
Em t=0,2:
y(0,2)=2e^{0,4}-e^{0,2}+e^{-0,2}\approx2,580977,
y'(0,2)=4e^{0,4}-e^{0,2}-e^{-0,2}\approx3,927167.

Passo 7

Os erros absolutos em cada passo são
Em t=0,1:
|y(0,1)-x_{1,1}| \approx |2,242472-2,2|=0,042472,
|y'(0,1)-x_{2,1}| \approx |2,875604-2,8|=0,075604.
Em t=0,2:
|y(0,2)-x_{1,2}| \approx |2,580977-2,48|=0,100977,
|y'(0,2)-x_{2,2}| \approx |3,927167-3,74288|=0,184287.

Resposta

(a) A EDO é
y'' - 3y' + 2y = 6e^{-t},
com y(0)=2\) e \(y'(0)=2\). (b) Sistema de primeira ordem: \[\begin{cases} x_1' = x_2,\\\ x_2' = 3x_2 - 2x_1 + 6e^{-t}, \end{cases} \quad x_1(0)=2,\;x_2(0)=2.
(c) Valores pelo Euler explícito ((\Delta t=0,1]):
x_{1}(0,1)=2,2,\;x_{2}(0,1)=2,8; \quad x_{1}(0,2)=2,48,\;x_{2}(0,2)=3,74288.
(d) Erros absolutos:
\begin{aligned} &|y(0,1)-x_1(0,1)|\approx0,042472,\quad |y'(0,1)-x_2(0,1)|\approx0,075604,\\\ &|y(0,2)-x_1(0,2)|\approx0,100977,\quad |y'(0,2)-x_2(0,2)|\approx0,184287. \end{aligned}

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