Mostre que o índice de Gini G é o dobro da área entre a curva de Lorenz e a reta y=x, ou seja,
G=2 \int_{0}^{1}[x-L(x)] d x
(b) Qual é o valor de G para uma sociedade perfeitamente igualitária (todos têm a mesma renda)? Qual é o valor de G para uma sociedade perfeitamente totalitária (uma única pessoa recebe todos os rendimentos)?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o índice de Gini
G
é dado por
G = 2 \int_{0}^{1} \bigl[x - L(x)\bigr]\,dx,
onde L(x) é a curva de Lorenz, e em seguida determinar os valores de G nos casos extremos: sociedade perfeitamente igualitária e perfeitamente totalitária. Vamos usar interpretação geométrica da área entre a reta de perfeita igualdade y=x e a curva de Lorenz.

Passo 2

Definimos
A = \text{área entre a reta }y=x\text{ e a curva }y=L(x),á
para 0\le x\le1. Geometricamente, essa área é
A = \int_{0}^{1} \bigl[x - L(x)\bigr]\,dx.

Passo 3

Observamos que o triângulo sob a reta y=x entre x=0 e x=1 tem área total
\frac{1\cdot1}{2} = \frac12.
O índice de Gini é definido como a razão entre a área A e essa área de referência \tfrac12, ou seja
G = \frac{A}{\tfrac12} = 2A.
Substituindo A do Passo 2, vem
G = 2 \int_{0}^{1} \bigl[x - L(x)\bigr]\,dx.

Passo 4

No caso de sociedade perfeitamente igualitária todos têm renda igual, de modo que a curva de Lorenz coincide com a reta de igualdade:
L(x)=x.
Logo
\int_{0}^{1} \bigl[x - L(x)\bigr]\,dx =\int_{0}^{1}(x - x)\,dx =0,
e portanto
G = 2\cdot0 = 0.

Passo 5

No caso de sociedade perfeitamente totalitária quem tem renda é apenas uma pessoa, de modo que
L(x)=0\quad\text{para }0\le x<1, \quad L(1)=1.
Então
\int_{0}^{1} \bigl[x - L(x)\bigr]\,dx =\int_{0}^{1}x\,dx =\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1} =\frac12,
e assim
G = 2\cdot\frac12 = 1.

Resposta

Para sociedade perfeitamente igualitária G=0.
Para sociedade perfeitamente totalitária G=1.

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